1樓:千百萬花齊放
用反證法
假設baif(x)在開區間
du(a,b)內沒有最大值
即存在一點zhix0,adao鄰域內是不連續
內的連續。
這與容f(x)在開區間(a,b)上連續矛盾
所以原命題得證。
我只是講一下思路
假設f(x)在開區間(a,b)內沒有最大值,
則對於任意的實數a>0,必存在一個x1屬於(a,b),使得f(x1)>a
因為f(x)在開區間(a,b)上連續,lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在(a,x1]中存在數a1、a2、......、an,使得f(a1)=f(a2)=......=f(an)=a,在[x1,b)中存在數b1、b2、......、bm,使得f(b1)=f(b2)=......=f(bm)=a,
設a0=min,b0=max
則在[a0,b0]這個閉區間上f(x)連續且沒有最大值,就是無界。這和在閉區間上的連續的函式在該區間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。矛盾
設函式f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,且f′(x)>0.若極限limx→a+f(2x?a)x?a
2樓:手機使用者
(1)因為極限
limx→a
+f(2x?a)
x?a存在,故lim
x→a+
f(2x?a)=f(a)=0
又f'(x)>0,於是f(x)在(a,b)內單調增加,故f(x)>f(a)=0,x∈(a,b);
(2)設f(x)=x2,g(x)=∫ xa
f(t)dt,a≤x≤b,則g'(x)=f(x)>0,故f(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件,於是在(a,b)記憶體在點ξ,使
f(b)?f(a)
g(b)?g(a)
=b?a∫b
af(t)dt?∫ aa
f(t)dt
=b?a∫b
af(t)dt
=f′(x)
g′(x)
=2xf(x)
|x=ξ
=2ξf(ξ),即b
?a∫ba
f(x)dx
=2ξf(ξ)
;(3)因f(ξ)=f(ξ)-0=f(ξ)-f(a),在[a,ξ]上應用拉格朗日中值定理,知在(a,ξ)記憶體在一點η,使f(ξ)=f'(η)(ξ-a),
從而由(2)的結論得b?a∫
baf(x)dx
=2ξf(ξ)
=2ξf′(η)(ξ?a)
,即在(a,b) 記憶體在與(2)中ξ相異的點η,使f′(η)(b2-a2)=2ξ
ξ?a∫ba
f(x)dx.
設f(x)在開區間(a,b)上連續,則f(x)在開區間(a,b)上存在最大值,最小值
3樓:匿名使用者
答:是錯誤的,比如f(x)在開區間(a,b)上是單調遞增函式或者單調遞減函式,
則在端點處取得最大值或者最小值,但因為是開區間,因此f(x)不存在最大值和最小值
4樓:匿名使用者
b可導一定連續
但是連續不一定可導
所以不對
即使可導,也可能有最大值無最小值,或有最小值,無最大值希望可以幫到你
設f(x)在c點連續,區間(a,c)與(c,b)內可導,且lim(x→c)f'(x)=a,證明:
5樓:匿名使用者
提示你用拉格朗日中值定理,證明左導數等於左極限,右導數等於右極限.根據左右極限相等得到左右導數相等,從而可導.
(1)證明拉格朗日中值定理,若函式f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)上可導,則ξ∈(a,b),得證f(b
6樓:匿名使用者
證明:(1)作輔助函式φ(x)=f(x)?f(a)?f(b)?f(a)
b?a(x?a),
易驗證φ(x)滿足:φ(a)=φ(b)=0;
又因為:φ(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,且φ′
(x)=f
′(x)?f(b)?f(a)
b?a.
根據羅爾定理,可得在(a,b)內至少有一點ξ,使φ′(ξ)=0,即:f′(ξ)-f(b)?f(a)
b?a=0
因此:f′(ξ)=f(b)?f(a)
b?a.ξ∈(a,b)
即:f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).ξ∈(a,b)命題得證.
(2)任取x0∈(0,δ),則函式f(x)滿足:
在閉區間[0,x0]上連續,開區間(0,x0)內可導,根據拉格朗日中值定理可得:存在ξ
x∈(0,x
)?(0,δ),使得f′(ξ
x)=f(x
)?f(0)x?0
(*)又由於lim
x→+f
′(x)=a,對上式(*式)兩邊取x
→+時的極限可得:f+′
(0)=limx→+
f(x)?f(0)x?0
=limx→+
f′(ξx
)=limξx
→+f′(ξ
x)=a故f+
′(0)存在,且f+′
(0)=a.
數學分析題, 設函式f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)上可導且f(a)=f(b),證明:存在§∈(a,b)使得得f(§)+f'(§)= 20
7樓:匿名使用者
函式f(x)上的一點a(§,f(§))的切線斜率為f'(§),過a點作x軸的垂
線交於x軸於b點(§,0),切線交x軸於c點,在rt△abc中,bc=ab/(tan(180-α)=-ab/tan(α)=-f(§)/f'(§),因為函式在 (a,b)內連續,因此必然存在bc=1,此時-f(§)/f'(§)=1,f(§)+f'(§)=0.
8樓:匿名使用者
如果是f(a)=f(b)=0則,可以令f(x)=e^xf(x),用羅中值定值可得答案。
如果上述條件不滿足,則有反例
令f(x)=1,則有,對所有x,f(x)+f'(x)=1+0=1,不可能等於0
9樓:白嘩嘩的大腿
可導函式就是在定義域內,每個值都有導數.可導函式的條件是在定義域內,必須是連續的.可導函式都是連續的,但是連續函式不一定是可導函式.
像樓上說的y=|x|,在x=0上不可導.即使這個函式是連續的,但是lim(x趨向0+)y'=1,lim(x趨向0-)y'=-1,兩個值不相等,所以不是可導函式。
10樓:翱翔千萬裡
在蝳坦曱甴剸一冒雨直上理 平下實下一上理
設函式fx在區間上連續,且faa,fb
1,證 設f x f x x 則來f x 在區間 a,b 上連續,因為源f a f a a 0 f b f b b 0所以存在一點 a,b 使得f 0 即 f 0 f 2,sinx的原函式是 cosx 設函式f x 在區間 a,b 上連續,且f a b。證明存在 a,b 使得f 令g x f x x...
如何理解函式fx在上可導,指fx在開區間
當f a f b 0,存 在t a,b 使得f t 0 對任何t a,b 有limx t f x f t 0 以上這兩個結論,只需要回f x 在 a,b 上連續 答區間上連續了,當然就有定義了 就行了,無需在 a,b 上可導。但是當f a f b 存在t a,b 使得f t 0 存在t a,b 使得...
設函式fx在上連續,在a,b內可導,且fx不等於
由lagrange中值定理 存在x1位於copy a,b 使得f b f a f x1 b a 對f x 和e x用cauchy中值定理,存在x2位於 a,b 使得 f b f a e b e a f x2 e x2 兩式相除移項得結論。設函式f x 在 a,b 上連續,在 a,b 內可導 0 利用...