1樓:紅妝初晴
解法一:
a、b、c為正實數,且a+b+c=1
[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=(1+1+1)^2
--->[3(a+b+c)+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
--->[3×1+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
上式兩邊除以9得
[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=1
故取等號時,得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值為1.
解法二:建構函式f(x)=1/(3x+2),則
f'(x)=-3(3x+2)^(-2)
f"(x)=18(3x+2)^(-3)
可見,當x>0,即x為正實數時,
f"(x)>0恆成立
故f(x)在(0,+無窮)內下凸
所以,a、b、c>0時,由琴生不等式得
f(a)+f(b)+f(c)>=3f[(a+b+c)/3]
--->1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=3×1/[3(a+b+c)/3+2]=3×1/[3×1/3+2]=1
故1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=1
取等號得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)最小值為1.
已知a,b,c>0,a+b+c=1,求證(1/3a+1)+(1/3b+1)+(1/3c+1)>3/2
2樓:匿名使用者
由a,b,c>0,a+b+c=1
根據bai柯西不等式:
du[(
zhi3a+1)+(3b+1)+(3c+1)][1/(3a+1)+1/(3b+1)+(3c+1)]≥(1+1+1)2
(3a+3b+3c+3)([1/(3a+1)+1/(3b+1)+(3c+1)]≥9
∴1/(3a+1)+1/(3b+1)+(3c+1)]≥9/6=3/2.
當a=b=c=1/3時,取最dao小值3/2.
3樓:匿名使用者
?既然abc都大於零,那麼原式化為1/3a+1/3b+1/3c>-3/2
顯然成立啊
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