1樓：藍的房子加海
證明：用反證法來證明：
假設(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大於1/4，
由於a，b，c∈(0，1)，
所以√[(1-a)b]>1/2，
√[(1-b)c]>1/2，
√[(1-c)a]>1/2，
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因為√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2，
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2，
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2，
這與①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。
所以假設不成立，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個不大於1/4。
注：本題用到了以下的基本不等式：
由於(√a-√b)^2≥0，得：a+b≥2√ab，即：√ab≤(a+b)/2。
②式利用了該基本不等式。
2樓：利爾德
採用反證法。
證明：假設(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大於1/4因01/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2則 √((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈r+, a+b≥2√(ab), 有√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以 √((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
這與已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假設不成立,
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大於1/4
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