關於高中數學放縮題的例題和做法

2022-12-05 10:56:05 字數 1520 閱讀 2108

1樓:銳賢襲媚

原理:欲證n元不等式:f(x1,x2,x3,...xn)>=0.....*

如果有f(x1,x2,x3,...xn)>=f1(x1,x2,x3,...xn)

f1(x1,x2,x3,...xn)>=f2(x1,x2,x3,...xn)

...fk(x1,x2,x3,...xn)>=0

那麼*成立

而且,這些不等式都比*容易證明

這就是放縮法,利用了不等式的傳遞性,很簡單:a>=b,b>=c

=>a>=c

所以。當一個不等式看起來很不好證明,那麼就可以「分解」成幾步來證明

弊端:容易造成:放縮過度

比如要證a>=c

那麼先證了:a>=b

但是若b>=c不恆成立,更有甚者會出現b<=c恆成立的情況。。

那麼就失敗了。。

所以,要練好放縮法有兩點:

(1)把一邊放縮成熟悉的結構,比如把不對稱放縮成對稱,把不齊次放縮成齊次,把不能裂項求和的放縮成可以裂項求和的。。。

(2)不要放縮過度(這就要經驗)

2樓:掌秀榮藩緞

常用的放縮有:

ⅰ.1/k^2

的放縮(1)

1/[k(k+1)]

<1/k^2

<1/[k(k-1)]

ⅱ.1/√k

的放縮2/(√k+√k+1)

<2/(2√k)

<2/(√k+√k-1)

ⅲ.1/k^2

的放縮(2)

1/k^2

<1/(k^2-1)

=1/(k+1)(k-1)

=(1/2)[1/(k-1)-1/(k+1)]

ⅳ.1/k^2

的放縮(3)

1/k^2

=4/(4k^2)

<4/(4k^2-1)

=2[1/(2k-1)-1/(2k+1)]

ⅴ.變數集中法

|a+b|/(1+|a+b|)=1/(1/|a+b|+1)

<=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)

ⅵ.建構函式法(沿用ⅴ的例子)

f(x)

=x/(1+x)

(x>=0)

從而實現函式性質的放縮

f(|a+b|)

<=f(|a|+|b|)

例題:證明1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+......+1/n^2<(n-1)/n

(n=2,3,4...)

解:∵1/2^2+1/3^2+......1/n^2>1/2*3+1/3*4+......

+1/n*(n+1)=1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/(n+1)=1/2-1/(n+1)即左側

1/2^2+1/3^2+......1/n^2<1/1*2+1/2*3+......+1/(n+1)*n=1-1/2+1/2-1/3+......1/(n-1)-1/n=1-1/n

即右側∴1/2-1/(n-1)<1/2^2+1/3^2+......+1/n^2<(n-1)/n

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