已知函式f(x)滿足 f(1)1 4,4f(x)f(y)f(x y) f(x y)(x,y屬於R),求f(2019)

2022-05-16 11:50:11 字數 3798 閱讀 6327

1樓:匿名使用者

解:∵f(1)=1/4,令y=1得:

f(x)=f(x+1)+f(x-1),即f(x+1)=f(x)-f(x-1)…………(1)

上式中令x=t+1得:

f(t+1+1)=f(t+1)-f(t+1-1)

f(t+2)=f(t+1)-f(t)

t換回x得:

f(x+2)=f(x+1)-f(x)…………(2)

(1)+(2)得:f(x+2)+f(x+1)=f(x+1)-f(x)+f(x)-f(x-1)

所以:f(x+2)=-f(x-1)

令x=t+1代入上式:

f(t+1+2)=-f(t+1-1)

f(t+3)=-f(t)

t換回x得:

f(x+3)=-f(x)

令x=t+3代入上式:

f(t+3+3)=-f(t+3)

因為:f(t+3)=-f(t),代入上式

所以:f(t+6)=f(t)

t換回x得:

f(x+6)=f(x)

∴該函式週期為6

【什麼叫做函式週期,為什麼函式週期是6】——周期函式請參考課本,或者上網搜尋

∴f(2010)=f(6×335+0)=f(0)【這步是如何得到的】

6是f(x)的週期,則6的倍數都是f(x)的週期

令x=1,y=0得4f(1)f(0)=f(1)+f(1),∴f(0)=1/2

∴f(2010)=1/2

2樓:生殘夜_深邃

周期函式:如果函式f(x)=f(x+t),則f(x)為周期函式,週期為t,一般t為最小正週期,如函式

f(x)=sin x , f(x)=cos x 都是周期函式,最小正週期為2π。

1式 f(x+1)=f(x)-f(x-1)

令x=x+1,帶入1式,得2式 f(x+2)=f(x+1)-f(x)

把1式帶入2式,得 f(x+2)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)

化簡,f(x+2)=-f(x-1) 再令x=x+1 ,則f(x+3)=-f(x) ,即 f(x)=-f(x+3)

我們最終要得到f(x)=f(x+t)的形式,所以要把-f(x+3)帶換掉,

所以將x=x+4 帶入 f(x+2)=-f(x-1) 得:-f(x+3)=f(x+6)

所以 f(x)=f(x+6),由此可知f(x)為周期函式,且週期為6

而2010=6*335+0,所以f(0)=f(0+6)=f(6+6)=f(12+6)=.....=f(6*335+0)=f(2010)

即f(2010)=f(0)=1/2

已知定義在r上的函式f(x)滿足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)

3樓:匿名使用者

f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),∴f(x)=f(x+1)+f(x-1),①f(y)=f(1+y)+f(1-y),

令x=y,得f(x-1)=f(1-x),

以x+1代x,得f(x)=f(-x),

∴f(x)是偶函式.

由①,f(0)=f(1)+f(-1)=1/2,f(x+1)=f(x)-f(x-1),

f(2)=f(1)-f(0)=-1/4,

f(3)=f(2)-f(1)=-1/2,

f(4)=f(3)-f(2)=-1/4,

f(5)=f(4)-f(3)=1/4,

f(6)=f(5)-f(4)=1/2,

f(7)=f(6)-f(5)=1/4,

∴f(n)以6為週期。2013=335×6+3,∴f(2013)=f(3)=-1/2.

4樓:匿名使用者

令x=1,y=0代入函式4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

即4f(1)f(0)=f(1)+f(1),因為f(1)=1/4,所以f(0)=1/2。

令x=1,y=1,代入函式4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

即4f(1)f(1)=f(2)+f(0),因為f(0)=1/2,f(1)=1/4,所以f(2)=-1/4。

令x=2,y=1代入函式4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

即4f(2)f(1)=f(3)+f(1),因為f(0)=1/2,f(1)=1/4,所以f(3)=-1/2。

令x=2,y=2代入函式4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

即4f(2)f(2)=f(4)+f(0),因為f(0)=1/2,f(1)=1/4,f(3)=-1/2,所以f(4)=-1/4。

很明顯函式是一個循壞函式

下面的自己求

5樓:黃油貓的悖論

令x=1,y=0

得:4f(1)f(0)=2f(1)

f(0)=2*1/4=1/2

令 y=1

得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)

f(x-1)=f(x)+f(x-2)

上面2式相加得 f(x+1)+f(x-2)=0f(x-2)+f(x-5)=0

式子「f(x+1)+f(x-2)=0」 減掉「f(x-2)+f(x-5)=0」得

f(x+1)=f(x-5)

f(x)週期為6

f(2013)=f(6*335+3)=f(1)=1/4

那位可以幫我解一道數學題,謝謝。已知函式f(x)滿足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈r),

6樓:情魔永恆

令y=1, 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)得f(x)=f(x+1)+f(x-1) ....(1)

由於x得任意性,用x+1代x ,所以 f(x+1)=f(x+2)+f(x) (2)

(1)+(2) 有f(x+2)=-f(x-1),即f(x)=-f(x-3)

f(2010)=f(0)

4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,可得f(0)=0.5,所以f(2010)=0.5

7樓:粉末

令y=0,則由已知 4f(x)f(0)=2f(x) ==> f(0)=1/2

令y=1,則 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1) ==> f(x+1)=f(x)-f(x-1)

f(2)=f(1)-f(0)=-1/4

f(3)=f(2)-f(1)=-1/2

f(4)=f(3)-f(2)=-1/4

f(5)=f(4)-f(3)=1/4

多推幾步,就可以看出規律了

8樓:匿名使用者

4 f (0) f (0) = 2 f (0)f (0) = 1/2

將y=1代入, f(x+1) = f(x) - f(x-1)推出f(2) = f(1)-f(0) = -1/4f(3) = f(2)-f(1) = -1/2f(4) = -1/4

f(5) = 1/4

∴t=6,2010/6=335,∴f(2010)=1/2

9樓:匿名使用者

令x=y=0 4f(0)^2=2f(0) f(0)=1/2或0

令x=1 y=0 4*1/4*f(0)=1/4+1/4=1/2 所以f(0)=1/2

令x=1 y=1 可求出f(2)= -1/4令x=2 y=1 求出f(3)= -1/2x=2 y=2 f(4)= -1/4f(5)=1/2

可以看出是迴圈函式

2010是5的整數倍 所以f(2010)=1/2

已知fx是二次函式,且滿足f01,fx1fx2x,求fx

設f x ax 2 bx c f 0 c 1,f x ax 2 bx 1x 0,f 1 f 0 0,f 1 f 0 1f 1 a b 1 1,a b 0 x 1 f 0 f 1 2,f 1 f 0 2 3f 1 a b 1 3,a b 2 a 1,b 1 f x x 2 x 1 若f x 是二次函式...

已知二次函式fx滿足f(x 1) fx 2x 且f(0)1求函式fx的解析式

你好 令f x ax bx c f x 1 f x a x 1 b x 1 c ax bx c 2ax a b 即2ax a b 2x 所以2a 2 b a 0即a 1,b 1f 0 c 1 所以f x x x 1 如果滿意記得采納哦!求好評!嘻嘻 解答 設f x ax bx c 則 f x 1 f...

已知函式f x)滿足f x 1 f 3 x ,對於任意x1,x2大於2,x1不等於x2,都有f x1 f x

f x 滿足f x 1 f 3 x 得 f x 圖象關於直線x 1 3 2 2對稱對於任意x1,x2 2,x1 x2,f x1 f x2 x1 x2 0 得 f x 在 2,是減函式 f x 在 2 是增函式 那麼距x 2距離越遠的自變數對應的函式值越小 不等式f 2a 1 a 2 2 2a 1 a...