1樓：匿名使用者
(1)e³=e^limln(1+x+f(x)/x)/x極限存在，故
f(0)=0，limf(x)/x=0故f'(0)=03=lim(x+f(x)/x)/x=lim1+f(x)/x²，故f''(0)=4
(2)=e^limln(1+f(x)/x)/x=e^limf(x)/x²=e^2
設f(x)在x=0的鄰域內具有二階導數,且lim(x趨於0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3
2樓：匿名使用者
解：(1) lim(x->0) (1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3=e^ lim(x->0) 1/x*ln[(1+x+f(x)/x)]
故有lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=3
分母趨於
e68a8462616964757a686964616f313333303631610，故分子必趨於0，於是有
lim(x->0) [1+x+f(x)/x)]=1
得lim(x->0) f(x)/x=0
同樣道理，分母趨於0，則分子必趨於0，於是有f(0)=0
利用羅比塔法則：
0=lim(x->0) f(x)/x=lim(x->0) f'(x)/1
得f'(0)=0
再利用羅比塔法則：
3=lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=lim(x->0) 1/[(1+x+f(x)/x)]*/1=
lim(x->0) 1/[(1+0+0)]*/1
故有2=lim(x->0) [f'(x)*x-f(x)]/x^2 （下面利用羅比塔法則）
=lim(x->0) [f''(x)*x+f'(x)-f'(x)]/(2x)
=lim(x->0) f''(x)*x/(2x)
=lim(x->0) f''(x)/2
故有f''(0)=4
(2)lim(x->0) (1+f(x)/x)^(1/x)=e^ lim(x->0) ln[1+f(x)/x]/x （下面利用羅比塔法則）
=e^ lim(x->0) 1/[1+f(x)/x]*[xf'(x)-f(x)]/x^2 （下面利用羅比塔法則）
=e^ lim(x->0) 1/[1+0]*[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x) （x消掉）
=e^ lim(x->0) f''(x)/2
=e^(4/2)
=e^2
不明白請追問。
3樓：匿名使用者
^1).由於極限存在，故f(0)=0,且f(x)/x趨於0，否則極限為無窮大。這樣：f'(0)=lim(f(x)-f(0)/x=0
(1+x+f(x)/x)^(1/x)=[(1+x+f(x)/x)^(1/(x+f(x)/x))]^[(x+f(x)/x)/x)]
底數(1+x+f(x)/x)^(1/(x+f(x)/x))趨於內e,指數趨於3，
故：3=1+limf(x)/x^2
2=limf(x)/x^2=limf'(x)/2x, （注容意：由柯西中值定理：limf(x)/x^2=limf'(x)/2x)
4=lim(f'(x)-f'(0))/x=f''(0)
2):由於極限存在，故f(0)=0,且f(x)/x趨於0，否則極限為無窮大。這樣：f'(0)=lim(f(x)-f(0)/x=0
(1+f(x)/x)^(1/x)=[(1+f(x)/x)^(1/(f(x)/x))]^[(f(x)/x)/x)]
底數（1+f(x)/x)^(1/(f(x)/x)趨於e，
指數：limf(x)/x^2=limf'(x)/2x=lim(f'(x)-f'(0))/2x=f''(0)/2
所以：極限=e^(f''(0)/2)
設f(x)在x=0的某一鄰域內具有二階連續導數，且lim(x→0)f(x)/x=0，證明級數f
4樓：慕藻尤夏雲
^f′(a)=0,f
′′bai
(a)≠0
只是duf(x)
在x=a
處取極值的充分zhi條件dao,非必要條件.
比如f(x)=x^4
,有f′
(0)=f
′′(0)=0
但在x=0
處顯然是取極小專值.
就這題而言：屬
因lim(x→0)f′′
(x)/
|x|=1
,由區域性保號性有,
存在一去心鄰域u°
(0,δ)
,使得對在這個去心鄰域內有f′′
(x)/
|x|>1/
2所以有f
′′(x)>
|x|/
2>0,而由連續性有f
′′(0)=0
去是,在鄰域u°(0,δ)
內有f′′
(x)≥0
,且只x=0
處f′′
(x)=0
於是f′′
(x)在鄰域u°(0,δ)
內嚴格單增
於是在該鄰域內有xf
′(0)=0
,導數是由負變正,所以取極小值.
設f(x)在x=0的某一鄰域內具有二階連續導數，且limf(x)/x=0,證明級數根號下nd(1/
5樓：匿名使用者
對c來說，存在δ，使當|x|<δ時，|f(x)/x^2-c|所以當n足夠大時，1/n<δ，所以
右邊為通項的級數是收斂的，所以原級數絕對收斂
設f(x)在點x=o的某一鄰域內具有連續的二階導數,且lim(x->0)f(x)/x=0,證明:級數∑(n=1,∞)f(1/n)絕對收斂
6樓：匿名使用者
f(x)在點x=o的某一鄰域內具有連續的二階導數
lim(x->0)f(x)/x=0，則：
f(0)=f'(0)=0
則：lim(x->0)f(x)/x^2=lim(x->0)f'(x)/2x=0
等價於lim(n->∞)f(1/n)*n^2=0，因此
lim(n->∞)∑f(1/n)∞)∑1/n^2絕對收斂
或利用泰勒公式：f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋f''(ξ)/2×x^2，ξ介於x與0之間.
f(x)在點x=0處具有連續的二階導數，所以f''(x)有界，即存在正數m，使得|f''(x)|≤m.
因為lim(x→0)f(x)/x＝0，所以f(0)＝lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)/x×x＝0，f'(0)＝lim(x→0)f(x)/x＝0
所以，f(x)＝f''(ξ)/2×x^2，從而f(1/n)＝f''(ξn)/2×1/n^2，ξn介於0與1/n之間.
所以，|f(1/n)|≤m/2×1/n^2
因為∑(1/n^2)收斂，所以∑|f(1/n)|收斂，得∑f(1/n)絕對收斂.
7樓：
利用泰勒公式：f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋f''(ξ)/2×x^2，ξ介於x與0之間.
f(x)在點x=0處具有連續的二階導數，所以f''(x)有界，即存在正數m，使得|f''(x)|≤m.
因為lim(x→0)f(x)/x＝0，所以f(0)＝lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)/x×x＝0，f'(0)＝lim(x→0)f(x)/x＝0
所以，f(x)＝f''(ξ)/2×x^2，從而f(1/n)＝f''(ξn)/2×1/n^2，ξn介於0與1/n之間.
所以，|f(1/n)|≤m/2×1/n^2
因為∑(1/n^2)收斂，所以∑|f(1/n)|收斂，得∑f(1/n)絕對收斂.
設f(x)有二階導數，在x=0的某去心鄰域內f(x)≠0，且lim f(x)/x=0,f'(0)=4,求lim (1+f(x)/x)^(1/x)
8樓：匿名使用者
題目有錯，f '(0)不可能是4的，由於lim f(x)/x=0，因此f '(0)=0
將你題目中f '(0)=4改為f ''(0)=4因此最後結果極限是e²
【數學之美】團隊為您解答，若有不懂請追問，如果解決問題請點下面的「選為滿意答案」。
設f(x)在x=0的某一鄰域內二階可導，且lim(x-->0)f(x)/x=0,f''(0)=2.求lim(x-->0)f(x)/x^2
9樓：匿名使用者
因f(x)在x=0處二階復可導從而
制連續f'(x)=lim(x-->0)
=lim(x-->0) ,
x-->0,f'(x) 有意義bai(二階可導從而連續)，除非duf(0)=0 (分母x趨於
zhi0，則分子必dao趨於0)
lim(x-->0) f(x)/x^2
=lim(x-->0)f'(x)/(2x) (洛畢達法則)=lim(x-->0)f"(x)/2=2/2=1
10樓：綠水青山總有情
lim(x-->0)f(x)/x=0，說明f(x)與x比較是一個高階無窮小，
11樓：匿名使用者
^lim(x-->0)f(x)/x=0
分子dux趨於zhi0，則分母必趨於0，否dao則該極限lim(x-->0)f(x)/x!版=0
lim(x-->0)f(x)/x=lim(x-->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(0)=0
由泰勒公式f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f"(0)x^權2+o(x^2)
則lim(x-->0)f(x)/x^2
=lim(x-->0)[f(0)+f'(0)x+(1/2)f"(0)x^2+o(x^2)]/x^2=lim(x-->0)[(1/2)f"(0)x^2+o(x^2)]/x^2=f"(0)/2 =1
12樓：匿名使用者
因為f(x)在x=0處二階可導從而連續且lim(x-->0)f(x)/x=0
設fx在x0的某一鄰域記憶體在連續的三階導數,且fx
不是極值點 f x 0,所以f x 在x0的兩邊是異號的因此f x 在x0兩邊就是先減後增或先增後減,是同號的於是f x 在x0兩邊就是始終增或者始終減故不是極值點 若函式y f x 在點x0的某鄰域內有連續的三階導數 f x 在x0的鄰域內泰勒,有 y f x0 f x0 x x0 f x0 x ...
設g x 在x 0處二階可導，且g 0 0,f x g x ,x 0,f x a,x 0確定試a值，使函式f x 在x 0處可導,求f
可導要連續，連續的定義是函式在這一點有定義且limf x f x 因為題中f 專x 在0處的極限屬就是g x 在0處的極限，而g x 二階可導，所以它在0處極限就是它在該點的值0。所以a 0f 0 0 設g x 在x 0處二階可導，且g 0 0，已知f x g x x，若x 0a，若x 0，在x 0...
設函式fx在x0點的某個鄰域內連續,且limx0f
因為 limx 0 f x ex 1 2,du且zhi limx 0ex 1 0,所以 f 0 lim x 0f x 0,利用導數的定dao義可得 f 版0 lim x 0f x f 0 x?0 lim x 0f x x lim x 0f x ex 1?ex?1 x lim x 0f x ex 1l...