1樓:陡變吧
向量首端相連,向量的尾端相連構成向量三角形,尾端相連的向量即為向量差,方向指向被減向量。
向量的加減乘除運演算法則是什麼
2樓:紅醉卉單精
設a=(x,y),b=(x',y')。
加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法
ob+oa=oc。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律:
交換律:a+b=b+a;
結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。減法如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.
0的反向量為0ab-ac=cb.即「共同起點,指向被
向量的減法
減」a=(x,y)b=(x',y')
則a-b=(x-x',y-y').如圖:c=a-b
以b的結束為起點,a的結束為終點。數乘實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。當λ>0時,λa與a同方向當λ<0時,λa與a反方向;
向量的數乘
當λ=0時,λa=0,方向任意。當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0。注:
按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0。實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當λ>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍當λ<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律結合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量對於數的分配律(第一分配律):
(λ+μ)a=λa+μa.數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律:1
如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b。2
如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ。[2]需要注意的是:向量的加減乘除運算滿足實數加減乘除運演算法則。
數量積定義:已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π定義:
兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量(沒有方向),記作a·b。若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉(依定義有:cos〈a,b〉=a·b
/|a|·|b|);若a、b共線,則a·b=±∣a∣∣b∣。向量的數量積的座標表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的數量積的運算律a·b=b·a(交換律)(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的數量積的性質a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。
(該公式證明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα|
因為0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)向量的數量積與實數運算的主要不同點1.向量的數量積不滿足結合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
2.向量的數量積不滿足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。3.|a·b|與|a|·|b|不等價4.由
|a|=|b|
,不能推出a=b,也不能推出a=-b,但反過來則成立。向量積定義:兩個向量a和b的向量積
向量的幾何表示
(外積、叉積)是一個向量,記作a×b(這裡「×」並不是乘號,只是一種表示方法,與「·」不同,也可記做「∧」)。若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:
垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b平行,則a×b=0,a、b垂直,則a×b=|a|*|b|(此處與數量積不同,請注意)。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。
運演算法則:運用三階行列式設a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量a=(x1,y1,z1)b=(x1,y1,z1)則a*b=a
bcx1
y1z1x1
y1z1向量的向量積性質:∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。a×a=0。
a平行b〈=〉a×b=0向量的向量積運算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.上兩個分配律分別稱為左分配律和右分配律。
在演算中應注意不能交換「×」號兩側向量的次序。如:a×(2b)=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是錯誤的!
注:向量沒有除法,「向量ab/向量cd」是沒有意義的。
向量的運演算法則是什麼?
3樓:鍾離淑敏仙詞
一、向量的概念
日常中我們所遇到的量可以分為兩類:一類量用一個數值便可以完全表示,比如面積、溫度、時間或質量等都屬於這一類,這一類質量稱為數量(或標量);另一類量,除了要用一個數以外,還要指明它的方向才能夠完全表示,比如速度、加速度、力等都屬於這一類,這一類的量稱
為向量(或向量)。
向量可以用一條有向線段形象地表示,線段的方向表示向量的方向,它的長度稱為向量的模。向量常記為(a→),(b→)或a,
b等,有時也用(a→b)表示一個向量,a是起點,b是終點。從a到b的指向表示(a→)的方向。向量(a→b)的模記作|(a→b)|。
模等於零的向量叫做零向量,記作0或(0→)。零向量的方向可以看作是任意的。模等於1的向量叫做單位向量。
對於非零向量(a→),我們用(a(0)→)表示a同向的單位向量,簡稱為a的單位向量。在直角座標系中,向量(o→m)
叫做點m的向徑,記做r或(r→)
。於是空間每一點m,對應著一個向徑
;反之,每一向徑r,對應著一個確定的點m。兩個向量的方向相同、模相等時,稱它們是相等的向量,記作(a→)
=(b→)
。因此,一個向量經過平移後與原向量相等。與的模相同而方向相反的向量叫做
的負向量,記作(a→)=-(c→)
。二、向量及運算
1、向量的加法
兩向量(o→a)
與(o→b)的和,是以這兩向量做相鄰兩邊的平行四邊形的對角線向量(o→c)
,記作(o→a)+(o→b)=(o→c)
這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則,由於平行四邊形的對邊平行且相等,我們還可以這樣來作出兩向量的和:作
(o→a)=(a→)。以(a→)的終點為起點作(b→)=(a→c)
,連線oc
,就得(o→c)
。這一方法叫做向量加法的三角形法則。向量的加法滿足交換律、結合律。如設有向量(a→)
,(b→)
即有(a→)+(b→)=(b→)+(a→)
[(a→)+(b→)]+(c→)=(a→)+[(b→)+(c→)]。
特別地,若(a→)
與(b→)
共線(平行或在同一條直線上),則規定它們的和是這一個向量:當(a→)
與(b→)
的指向相同時,和向量的方向與原來兩向量的方向相同,其模等於兩向量的模的和;當(a→)
與(b→)
的指向相反時,和向量的方向與較長的向量的方向相同,而模等於較大向量的模減去較小向量的模。
2.向量的減法
減法是加法的逆運算,若(b→)+(c→)=(a→)
,則定義(c→)
為向量(a→)
與(b→)
之差,記作(c→)=(a→)-(b→)。
由於(a→)+[-(b→)]=(a→)-(b→)
,所以由加法的法則可得減法的相應法則:以(a→)及-(b→)
為鄰邊作平行四邊形,則對角線向量就是(c→)
。若(a→)
與(-b→)
的起點相同,由(b→)
的終點到(a→)
的終點所成的向量也為(a→)-(b→)。此法則稱為減法的三角形法則。
4樓:就這樣吧
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
向量的加法ob+oa=oc。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律:
交換律:a+b=b+a;
結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0
向量的減法
ab-ac=cb. 即「共同起點,指向被
向量的減法減」
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ>0時,λa與a同方向;
向量的數乘
當λ<0時,λa與a反方向;
向量的數乘當λ=0時,λa=0,方向任意。
當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0。
注:按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;
當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律:1 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b。2 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義:已知兩個非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義:兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a·b。若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的座標表示:a·b=x·x'+y·y'。 向量的數量積的運算律
a·b=b·a(交換律);
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律);
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(該公式證明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b(這裡並不是乘號,只是一種表示方法,與「·」不同,也可記做「∧」)。若a、b不共線,則a×b的模是:
∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線,則a×b=0。
向量的向量積性質:
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
a×(b+c)=a×b+a×c.
注:向量沒有除法,「向量ab/向量cd」是沒有意義的。
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