1樓:匿名使用者
由a,b,c>0,a+b+c=1
根據bai柯西不等式:
du[(
zhi3a+1)+(3b+1)+(3c+1)][1/(3a+1)+1/(3b+1)+(3c+1)]≥(1+1+1)2
(3a+3b+3c+3)([1/(3a+1)+1/(3b+1)+(3c+1)]≥9
∴1/(3a+1)+1/(3b+1)+(3c+1)]≥9/6=3/2.
當a=b=c=1/3時,取最dao小值3/2.
2樓:匿名使用者
?既然abc都大於零,那麼原式化為1/3a+1/3b+1/3c>-3/2
顯然成立啊
已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:a^2+b^2+c^2≥1/3
3樓:匿名使用者
因為:(a-b)2≥0
得:a2+b2≥2ab
同理專:a2+c2≥2ac;b2+c2≥2bc三式相加得:屬2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc)則:a2+b2+c2≥ab+ac+bc
a+b+c=1
兩邊平方得:
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1a2+b2+c2=1-2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc3(ab+ac+bc)≥1
ab+ac+bc≥1/3
則:a2+b2+c2≥ab+ac+bc≥1/3
4樓:匿名使用者
^^(a+b+c)^copy2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1已知不等式a^2+b^2≥2ab;b^2+c^2≥2bc;a^2+c^2≥2ac
代入上式:
3a^2+3b^2+3c^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
5樓:匿名使用者
證明:bai
由題設及du柯西zhi
不等dao式可得:
內(12+12+12)(a2+b2+c2)≥容(a+b+c)2
即a2+b2+c2≥1/3
6樓:匿名使用者
^^^即證明
3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
即證明2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+ac+bc)即證明(a^2+b^2-2ab) +(a^2+c^2-2ac)+(b^2+c^2-2bc)>=0
即證明(a-b)^2+(a-b)^2+(a-b)^2>=0所以成內立,當且僅容當a=b=c時等號成立
7樓:張卓賢
^^a+b+c=1
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1a2+b2+c2=1-(2ab+2ac+2bc)>=1-(a2+b2+a2+c2+b2+c2)
從而copy
有bai
du:a^zhi2+b^2+c^2≥dao1/3
a,b,c>0,a+b+c=1,求證a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥1/2
8樓:匿名使用者
(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=[(a-b)ab+(b-c)bc+(c-a)ca]/(abc)
=[(a^2 b - ab^2)+(b^2 c - bc^2)+(c^2 a-ca^2)]/(abc)
=[ab(a-b)+(b^2 c - a^2 c) + (c^2 a - c^2 b)]/(abc)
=(a-b)(ab-ac-bc+c^2)/(abc)
=-(a-b)(b-c)(c-a)/(abc).(*)
設a-b=x,b-c=y,c-a=z,則x+y+z=0,
x-y=a-2b+c=-3b,y-z=b-2c+a=-3c,z-x=-3a
c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)
=[(y-z)/x+(z-x)/y+(x-y)/z](-1/3)
=-(x-y)(y-z)(z-x)/(xyz) * (-1/3).(類似*的證明)
=-(-3a)(-3b)(-3c)*(-1/3)/[(a-b)(b-c)(c-a)]
=-9abc/[(a-b)(b-c)(c-a)]
故[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9
思路其實就是分別化簡兩個式子,看起來挺複雜,寫起來挺多,其實算一下就會發現第一個式子的形式看起來很好,同理算得第二個式子.沒試過直接相乘和其他方法,感覺也可以做.
高中數學題求解:已知a+b+c=1,求1/3a+2 + 1/3b+2 + 1/3c+2 的最小值 求過稱。要我看懂的。謝謝啦~~!!
9樓:紅妝初晴
解法一:
a、b、c為正實數,且a+b+c=1
[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=(1+1+1)^2
--->[3(a+b+c)+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
--->[3×1+6]*[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=9
上式兩邊除以9得
[1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)]>=1
故取等號時,得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值為1.
解法二:建構函式f(x)=1/(3x+2),則
f'(x)=-3(3x+2)^(-2)
f"(x)=18(3x+2)^(-3)
可見,當x>0,即x為正實數時,
f"(x)>0恆成立
故f(x)在(0,+無窮)內下凸
所以,a、b、c>0時,由琴生不等式得
f(a)+f(b)+f(c)>=3f[(a+b+c)/3]
--->1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=3×1/[3(a+b+c)/3+2]=3×1/[3×1/3+2]=1
故1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)>=1
取等號得
1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)最小值為1.
已知 a0,b0,c0,且a b c 1求證1abc小於或等於
因為a b c 3 abc 1 3 所以abc a b c 3 3 又a b c 1 所以abc 1 3 3 1 27 2 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c 3 b a a b c a a c c b b c 3 2 2 2 9當a b c時,取 1 因為a b...
已知a b c 1求證ab bc acabc
a b c 1 則 baia b c 1 即a b c 2ab 2ac 2bc 1a b c 1即 a b c 1 即a b c 2ab 2ac 2bc 1 dua b c zhi daoabc 2 a b c 2 abc 即a b c abc 1 2 1 2ab 2ac 2bc abc 1 2 即...
12已知abc都是正整數,且a b c 1求證 1 a 1 b 1 C8abc
這位朋友的最好，我來推薦 1 a 1 b 1 c b c a c a b 2 bc 1 2 2 ac 1 2 2 ab 1 2 8abc 另外，題目裡有點筆誤，不是正整數吧，只是正數吧回答者 xtttwind 舉人 四級 5 18 16 08 證明 a 0,b 0,c 0 a b 2 a b b c...