1樓：佛無漏智
令√﹙a+2/3﹚=a
√﹙b+2/3﹚=b
√﹙c+2/3﹚=c
由柯西不等式得：
=√3﹙a+b+c+2﹚
=3命題得證
（這裡的解主要用的是柯西不等式）
2樓：匿名使用者
a+2 ,b+2,c+2 <=3
根號(a+2)/3<=1
同理其它的也一樣
所以原式成立。
設a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求證：根號a+根號b+根號c<=根號3
3樓：匿名使用者
由基本不等式：(x+y+z)/3<=根號[(x^2+y^2+z^2)/3]，等號當且僅當x=y=z時成立
所以根號a+根號b+根號c<=3根號[(a+b+c)/3]=根號3
等號當且僅當a=b=c=1/3時成立
已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,用初等方法證明b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11.
4樓：太白謫仙
^我做的baishicuode
b^2c+a^2b+c^2a>=3*3次根du號下zhi(a^dao3b^3c^3)=3*(abc)[算術平均值專>=幾何屬
平均值]
所以b/a+c/b+a/c=(b^2c+a^2b+c^2a)/(abc)>=3*(abc)/(abc)=3 (1)
因為ab+bc+ca>=3*3次根號下(a^2b^2c^2)>=1/3 [算術平均值》=幾何平均值]
所以24(ab+bc+ca)>=24*1/3=8 (2)根據(1)(2)
b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11
5樓：匿名使用者
可以用拉各朗日數乘法，這
個方法你可能不知道，這是高等數學的解法，只是供你參考版:
設f(a.b.c)=a+b+c-1,數乘因子為s，令權g(a.
b.c)=b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)得到拉各朗日函式l(a.b.
c)=g(a.b.c)+s*f(a.
b.c)，然後分別對
l(a.b.c)進行求偏導數得以下幾個式子：
1/c-b/(a*a)+24(b+c)+s=01/a-c/(b*b)+24(a+c)+s=01/b-a/(c*c)+24(a+b)+s=0還加上本身自己就有的方程a+b+c=1
聯合上述的式子（上式是很對稱的）得a=b=c=1/3；
把a,b,c帶入g(a.b.c)中就是它的最小值11，至於為什麼是最小值那是高等數學才能說得清楚的問題，我就不細說
了，順便說一下，對某個變數求偏導就是其它變數看作常量，只對這一個變數求導數比如f(a.b)=2a+b,對a求偏導就是把b看成常數即是偏倒數為2，對b的偏倒數為1
6樓：美玉子
b^copy2c+a^2b+c^2a>=3*3次根號下(a^3b^3c^3)=3*(abc)[算術平均值>=幾何平均值]
所以b/a+c/b+a/c=(b^2c+a^2b+c^2a)/(abc)>=3*(abc)/(abc)=3 (1)
因為ab+bc+ca>=3*3次根號下(a^2b^2c^2)>=1/3 [算術平均值》=幾何平均值]
所以24(ab+bc+ca)>=24*1/3=8 (2)根據(1)(2)
b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11
已知a>0,b>0,c>o,且ab+bc+ca=1,求證:(a+b+c)/根號abc>=根號3乘(根號a+根號b+根號c) 40
7樓：匿名使用者
^^ab≤(a^2+b^2)/2 bc≤(b^2+c^2)/2ca≤(c^2+a^2)/2
三個相加得ab+bc+ca=1≤a^2+b^2+c^2∴a^2+b^2+c^2≥1
不等式兩邊同時加上2×(ab+bc+ca)所以(a+b+c)^2≥1+2=3
所以a+b+c≥√3
8樓：匿名使用者
想了好久，還用word寫了解答再截圖上傳，沒有功勞也有苦勞啊~~
已知a,b,c>0,a+b+c=1,求證(1/3a+1)+(1/3b+1)+(1/3c+1)>3/2
9樓：匿名使用者
由a，b，c＞0，a+b+c=1
根據bai柯西不等式：
du[（
zhi3a+1)+（3b+1)+（3c+1)][1/（3a+1)+1/（3b+1)+（3c+1)]≥（1+1+1)²
(3a+3b+3c+3)([1/（3a+1)+1/（3b+1)+（3c+1)]≥9
∴1/（3a+1)+1/（3b+1)+（3c+1)]≥9/6=3/2.
當a=b=c=1/3時，取最dao小值3/2.
10樓：匿名使用者
？既然abc都大於零，那麼原式化為1/3a+1/3b+1/3c>-3/2
顯然成立啊
已知a+b+c=1,求證明√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)>=2+√2
11樓：匿名使用者
你這題條bai件少了a，
b，c≥0吧，否du則a=-1，b=-1，c=3，√(a+1)+√(b+1)+√(c+1)=2＜2+√2
函式處zhi
理法c=1-a-b，dao令回x=b，f（x）=√(a+1)+√(x+1)+√(2-a-x），x∈[0,1-a]，a∈[0,1]
[√(x+1)+√(2-a-x）]²=3-a+2√[(x+1)（2-a-x）]=3-a+2√（
答-x²+（1-a）x+2-a）
令g（x）=√（-x²+（1-a）x+2-a）顯然當x=0或x=1-a時g（x）取最小值√(2-a）
於是[√(x+1)+√(2-a-x）]²≥3-a+2√(2-a）=[√(2-a）+1]²
得√(x+1)+√(2-a-x）≥√(2-a）+1
於是f（x）最小值可表示為h（a）=√(a+1)+√(2-a）+1
[√(a+1)+√(2-a）]²=3+2√[(a+1)(2-a）]=3+2√(-a²+a+2）
顯然當a=0或a=1時h（a）取最小值2+√2
已知a>b>c且a+b+c=0，求證：根號（b^2-ac）<（根號3）*a
12樓：匿名使用者
兩邊平方，即b^2-ac＜3a^2,然後
代入c=-a-b,即證b^2-a(-a-b)＜3a^2,即2a^2-ab-b^2＞0等價於(2a+b)(a-b)＞0,而a+b=-c等價於(a-c)(a-b)＞0成立故√(b^2-ac)＜√3a成立
已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:a^2+b^2+c^2≥1/3
13樓：匿名使用者
因為：(a-b)²≥0
得：a²+b²≥2ab
同理專：a²+c²≥2ac；b²+c²≥2bc三式相加得：屬2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)則：a²+b²+c²≥ab+ac+bc
a+b+c=1
兩邊平方得：
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1a²+b²+c²=1-2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc3(ab+ac+bc)≥1
ab+ac+bc≥1/3
則：a²+b²+c²≥ab+ac+bc≥1/3
14樓：匿名使用者
^^(a+b+c)^copy2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1已知不等式a^2+b^2≥2ab；b^2+c^2≥2bc；a^2+c^2≥2ac
代入上式：
3a^2+3b^2+3c^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
15樓：匿名使用者
證明：bai
由題設及du柯西zhi
不等dao式可得：
內(1²+1²+1²)(a²+b²+c²)≥容(a+b+c)²
即a²+b²+c²≥1/3
16樓：匿名使用者
^^^即證明
3（a^2+b^2+c^2）>=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
即證明2(a^2+b^2+c^2）>=2(ab+ac+bc)即證明(a^2+b^2-2ab) +(a^2+c^2-2ac）+(b^2+c^2-2bc)>=0
即證明(a-b)^2+(a-b)^2+(a-b)^2>=0所以成內立，當且僅容當a=b=c時等號成立
17樓：張卓賢
^^a+b+c=1
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1a²+b²+c²=1-(2ab+2ac+2bc)>=1-(a²+b²+a²+c²+b²+c²)
從而copy
有bai
du:a^zhi2+b^2+c^2≥dao1/3
已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,用初等方法證明:b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11.
18樓：
已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,則
(a-b)^2≥0......(1)
(b-c)^2≥0......(2)
(c-a)^2≥0......(3)
(1)+(2)+(3),得
[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
1*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
(a+b+c)*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
上不等式整理化簡,得
a^3+b^3+c^3-3abc≥0
a^3+b^3+c^3≥3abc
同理[(b/a)^(1/3)]^3+[(c/b)^(1/3)]^3+[(a/c)^(1/3)]^3
≥3*[(b/a)*(c/b)*(a/c)]^(1/3)=3
又a+b=定值時,ab的值最大
同理a+b+c=定值時,當a=b=c,abc的值最大
已知a+b+c=1,故當a=b=c=1/3時,abc最大=1/27
因ab+bc+ca≥3*[(abc)^2]^(1/3)
3*[(abc)^2]^(1/3)的最大值=3*[(1/27)^2]^(1/3)=1/3
24(ab+bc+ca)≥24*1/3=8
故b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥3+8=11
即b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11
19樓：雀眼
題目很難，樓上沒有正解
24這個數字太妖了，初等方法很難解決……
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)>=ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)
24(ab+bc+ca)<=8!!!
設l(a,b,c,k)=ab+bc+ac-k(a+b+c-1)l對a b c k 分別求偏導
b+c-k=0
c+a-k=0
a+b-k=0
a+b+c-1=0
由上a=b=c=1/3
這是極小值點
可知(ab+bc+ca)min=1/9+1/9+1/9=1/3……
20樓：匿名使用者
因為abc在題目中的地位是相同的,可以使用對稱性證明.就是abc互換位置.
21樓：光子朗
故b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥3+8=11
即b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11
22樓：沈策源
a=1/2,b=1/4,c=1/4時，b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)=11
a=b=c
23樓：匿名使用者
其實是 幾個方根和平方的運用而已！！ 已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,則
(a-b)^2≥0......(1)
(b-c)^2≥0......(2)
(c-a)^2≥0......(3)
(1)+(2)+(3),得
[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
1*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
(a+b+c)*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
上不等式整理化簡,得
a^3+b^3+c^3-3abc≥0
a^3+b^3+c^3≥3abc
同理 [(b/a)^(1/3)]^3+[(c/b)^(1/3)]^3+[(a/c)^(1/3)]^3
≥3*[(b/a)*(c/b)*(a/c)]^(1/3)=3
又a+b=定值時,ab的值最大
同理a+b+c=定值時,當a=b=c,abc的值最大
已知a+b+c=1,故當a=b=c=1/3時,abc最大=1/27
因ab+bc+ca≥3*[(abc)^2]^(1/3)
3*[(abc)^2]^(1/3)的最大值=3*[(1/27)^2]^(1/3)=1/3
24(ab+bc+ca)≥24*1/3=8
故b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥3+8=11
即b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11
已知a0b0c0abc1證明
由於1 a 3 b c abc a 2 ab bc 1 a 2 1 b 1 c 令x 1 a,y 1 b,z 1 c,又由於abc 1，a b c r 有xyz 1,且x y z r 於是只需證明x 2 y z y 2 x z z 2 x y 3 2.因為x 2 y z y z 4 x,y 2 x ...
已知 a0,b0,c0,且a b c 1求證1abc小於或等於
因為a b c 3 abc 1 3 所以abc a b c 3 3 又a b c 1 所以abc 1 3 3 1 27 2 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c 3 b a a b c a a c c b b c 3 2 2 2 9當a b c時,取 1 因為a b...
已知ab,Cd求證aCbd,已知a0,b0,c0,d0,且abcd求證acbdcd
由條件知a b 0,c d 0,兩個正數相加大於0,所以 a b c d 0,所以a c b d 因為a b,所以a c b c 因為c d,所以b c b d 則a c b c b d 兩個不等式想加就得到了,你是來玩的嗎兄弟 兩個大的數之和肯定比兩個小的數之和大啊 已知a 0,b 0,c 0,d...