關於高等數學中有理分式不定積分和因式分解的問題

2021-03-11 13:35:20 字數 4779 閱讀 5112

1樓:_歷史虛無主義

兩個多項式的商p(x)/q(x)稱為有理函式,又稱為有理分式,我們總假定分子多項式p(x) 與分母多項式q(x)之間無公因式,當分子多項式p(x)的次數小與分母多項式q(x),稱有理式為真分式,否則稱為假分式.

對於假分式的積分:利用多項式除法,總可將其化為一個多項式與一個真分式之和的形式.

總結:解被積函式為假分式的有理函式時,用多項式出發將其化簡為多項式和真分式之和的形式,然後進行積分.對於一些常見函式積分進行記憶,有助於提高解題速度。

參考:1.http:

因式分解

提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.

如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式,多項式的次數取最低的.

如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括號內的第一項的係數成為正數.提出「-」號時,多項式的各項都要變號.

口訣:找準公因式,一次要提淨;全家都搬走,留1把家守;提負要變號,變形看奇偶.

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).

注意:把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法.

平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;

注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);

立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);

完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.

(3)分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形.

2.分解因式技巧掌握:

①等式左邊必須是多項式;

②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;

③每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止.

注:分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮.

3.提公因式法基本步驟:

(1)找出公因式;

(2)提公因式並確定另一個因式:

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數在確定字母;

②第二步提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因式後剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另一個因式;

③提完公因式後,另一因式的項數與原多項式的項數相同.

[編輯本段]

競賽用到的方法

⑶分組分解法

分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識.

能分組分解的方程有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法.

比如:ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難.

同樣,這道題也可以這樣做.

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

幾道例題:

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法:=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

說明:係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕鬆解出.

2. x^3-x^2+x-1

解法:=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法,提公因式法提出x2,然後相合輕鬆解決.

3. x2-x-y2-y

解法:=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決.

⑷十字相乘法

這種方法有兩種情況.

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).

圖示如下:

×c d

例如:因為

1 -3

×7 2

-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).

十字相乘法口訣:首尾分解,交叉相乘,求和湊中

⑸拆項、添項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形.

例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b).

⑹配方法

對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法.屬於拆項、補項法的一種特殊情況.也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形.

例如:x²+3x-40

=x²+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)²-(6.5)²

=(x+8)(x-5).

⑺應用因式定理

對於多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a.

例如:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式.(事實上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).)

注意:1、對於係數全部是整數的多項式,若x=q/p(p,q為互質整數時)該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項係數約數;

2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數,c為常數項,則有a為c/b約數

⑻換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法.

注意:換元后勿忘還元.

例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時,可以令y=x²+x,則

原式=(y+1)(y+2)-12

=y²+3y+2-12=y²+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x²+x+5)(x²+x-2)

=(x²+x+5)(x+2)(x-1)

2樓:匿名使用者

對所有多項式q均可以分解成一次及二次質因式的乘積

x^4+1是可以分解的

比如x^4+1=(x^2+1)-2x^2=(x^2+1-根號2x)(x^2+1+根號2x)

3樓:匿名使用者

x^4+1確實可以du

分解成二次多項式zhi

x^dao4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2*x)(x^2+1+√2*x)

注意題中的實數內範圍

教材說容的沒錯,只是有些繁瑣的多項式我們無法用初等方法分解。

學到複數的話你會知道,一個n次多項式一定有n個根(包括重根,非實根),然後一個多項式就一定可以分解成k*(x-x1)*(x-x2)*……的形式,其中xn為多項式等於0的根。

4樓:匿名使用者

樓上的幾個,你們好

抄像弄錯了吧,人家問的是

bai有理分式,不是有理整式du。

用的是待zhi定係數法進行dao的分解,方法簡單,但是過程太複雜,是體力活。具體的方法我記不太清了,因為書沒在身邊。

陳文登的考研教材上有(這本書其實偏難),或是看數學系用的數學分析,上面也有,我看過的。

高等數學求不定積分,高等數學求不定積分

詳細過程如圖,希望能幫到你解決你心中的問題 希望過程清楚明白 高等數學求不定積分?兩邊對x求導 x 5 f x x x 2 1 f x 1 x 4 x 2 1 f x dx dx x 4 x 2 1 令x sect,專則1 x cost,dx secttantdt f x dx secttantdt...

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高等數學不定積分問題,高等數學不定積分分部積分問題

sec,正割,是餘切的 bai倒數。把x 3sec u 3 cos u 代入原式du,zhi化簡,得到dao第一個等號後的內內容。注意,dx 中的x也要替容換為3 cos u並進行計算的 之後,第二個等號是把3提出,簡單替換。第三個等號是利用積分公式。第四個等號是把x換回去。x 2 3secu 2 ...