1樓：扶不起的老阿斗
實對稱矩陣的行列式是否為零可以用來判斷相應的線性方程組ax= 是否只有只唯一解。矩陣乘積的行列式等於它們行列式的乘積。 這使得矩陣乘法的問題和行列式的問題有時候可以相互轉化。
比如： 可逆的矩陣行列式一定非零， 反過來也成立， 實際上， 如果的行列式非零， 它的逆矩陣可以用它的伴隨矩陣寫出來係數矩陣可逆的線性方程組的克萊姆規則是用矩陣行列式描述的。向量空間向量空間的出現進一步豐富的矩陣的玩法。
向量空間與矩陣的相互轉化關係是這樣的。 取維向量空間v的一組基， 對於v中向量組α， 分別取它們在這組基下的座標a， 將它們拼在一起組成矩陣。原向量組的問題可轉化為矩陣的問題。
例如：α線性無關， 若且唯若線性方程組ax= 只有零解， 若且唯若的秩是。要尋找α的極大線性無關組也可以從矩陣來考慮， 可對進行初等行變換就像高斯消元法一樣。
這時， 與的列向量的極大線性無關組對應的α中的向量就組成其極大線性無關組。
2樓：網友
這裡不是說重特徵值的兩特徵向量已經正交， 而是將它們正交化，得出。
1·x1 - 2·x2 + 1·x3 = 0， 1·x1 + 1·x2 + 1·x3 = 0 ， 來決定 x1，x2，x3
為什麼n階實對稱矩陣有n個線性無關的特徵向量
3樓：blackpink_羅捷
實對稱矩陣的特徵值的幾何重數等於其代數重數，也就是每個特徵值的重數與其對應的基礎解系的解向量的個數相等。
如果有n階矩陣a，其矩陣的元素都為實數，且矩陣a的轉置等於其本身（aij=aji），(i,j為元素的腳標），則稱a為實對稱矩陣。
實對稱矩陣主要性質：
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4、若a具有k重特徵值λ0 必有k個線性無關的特徵向量，或者說秩r(λ0e-a)必為n-k，其中e為單位矩陣。
5、實對稱矩陣a一定可正交相似對角化。
4樓：網友
這個問題很強大，，不知道線性代數上有沒有嚴格的證明，，但是高等代數課本里面對這個命題有證明。。。另外之所以說這個這個定理強大，是因為它是實對稱矩陣一定可以相似對角化的理論基礎）
為什麼實對稱矩陣同一特徵值的特徵向量線性無關?
5樓：生活小能手
因為n階對稱矩陣必可對角化，對角化的條件就是有n個線性無關的特徵向量，因此實對稱矩陣特徵值的重數和與之對應的線性無關的特徵向量的個數相等。
乙個線性變換。
通常可以由其特徵值和特徵向量。
完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量。
但要注意零向量本身不是特徵向量。線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。
第一性質：
線性變換的特徵向量是指在變換下方向不變，或者簡單地乘以乙個縮放因子的非零向量。
特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。
特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特徵向量。
線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。
特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。
有限維向量空間上的乙個線性變換的譜是其所有特徵值的集合。
例如，三維空間。
中的旋轉變換的特徵向量是沿著旋轉軸的乙個向量，相應的特徵值是1，相應的特徵空間包含所有和該軸平行的向量。該特徵空間是乙個一維空間。
因而特徵值1的幾何重次是1。特徵值1是旋轉變換的譜中唯一的實特徵值。
實對稱矩陣的特徵向量一定正交嗎?
6樓：八卦娛樂分享
實對稱矩陣的特徵向量不一定會正交。
假設n*n階單位矩陣。
為實對稱矩陣，並且任何n維向量都是其特徵向量，但是並不是任意兩個特徵向量是正交的，有的互相正交，有的並不互相正交。
實對稱矩陣的不同特徵值對應的特徵向量正交是實對稱矩陣的乙個性質，並且是對稱矩陣的特徵值都是實數，特徵向量也是實向量。在對於實對稱矩陣特徵向量是否正交這一問題做出判斷之前需要對實對稱矩陣的性質有比較好的掌握。
特徵向量。矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量。
是乙個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。
該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值。
乙個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
線性代數，實對稱矩陣問題？
7樓：網友
這裡面其實跳步了。既然α1、α2、α3都是a的特徵向量，所以有。
a*α_i=6α_i（已經代入特徵值是6）上式求轉置，且由於a對稱，有。
6α_i ^t = i^t * a^t = i^t * a (*同時0也是特徵值，所以0所對應的特徵向量α滿足。
a * 0上式左乘以α_i^t，同樣是0，再結合(*)式，約掉常數6，就是α_i^t * 0。儘管題目裡有三個α_i，但其中只有兩個向線性無關向量，所以得到了關於α的兩個方程，也就能夠得到α的基礎解繫了。另外，不同特徵值所對應的特徵向量之間並不一定正交，這題目裡是限定了乘以特徵值0的特徵向量才等於0的，那三個特徵向量之間相乘都不等於0。
8樓：戴午識漁漁
你好，不好意思，我的數學不是太好，你發的這個我有點看不太懂，不能為您解答。
對稱矩陣的特徵值和特徵向量有什麼關係？
9樓：魯步昭懿
1、它們的秩相同；
2、兩個矩陣可以相互通過初等變換得到；
3、a和b為同型矩陣；
4、矩陣a和b等價，那麼b和a也等價(等價性）；
5、矩陣a和b等價，矩陣b和c等價，那麼a和c等價（傳遞性）；
6、矩陣a和b等價，那麼iai=kibi。(k為非零常數)；
7、具有行等價關係的矩陣所對應的線性方程組有相同的解。
n×n的方塊矩陣a的乙個特徵值和對應特徵向量是滿足。
的標量。以及非零向量 。其中v為特徵向量，為特徵值。a的所有特徵值的全體，叫做a的譜 [15] ，記為。
矩陣的特徵值和特徵向量可以揭示線性變換。
中，對稱矩陣。
是乙個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等 。即。
例如： 矩陣分解是將乙個矩陣分解為比較簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積 ，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。
假設m是乙個m×n階矩陣，其中的元素全部屬於域k，也就是實數域或複數域。如此則存在乙個分解使得。
其中u是m×m階酉矩陣；σ是m×n階實數對角矩陣。
而v*，即v的共軛轉置，是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作m的奇異值分解 。
對角線。上的元素σi,i即為m的奇異值。常見的做法是將奇異值由大而小排列。如此σ便能由m唯一確定了。
怎麼證明實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量互相正交謝謝大家
10樓：黑科技
思路大概是這樣的設森乎臘實對稱矩陣a的兩不同特徵值k1，k2對應的特徵向量a，b，則a『ab=k1*a』b此式的左邊為一實數，此滑故其轉置與其相等，再由a為實對陣矩陣，有頃盯a『ab=b'a『a=b』aa=k2*b'a即k1*a』b=k2*b'a又由a』b=b'a，k1不等於k2故a』b=b'a=0
對稱矩陣a的實特徵值與特徵向量有哪些關係？
11樓：社會民生小解答
對稱矩陣的性質是：
1、對於任何方形矩陣x，x+xt是對稱矩陣。
2.、為方形矩陣是a為對稱矩陣的必要條件。
3、舉羨耐對角矩陣都是對稱矩陣。
4、兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個正春實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
5、用<,>表示rn上的內積。n×n的實矩陣a是對稱的。
6、任何方形矩陣x，如果它的元素屬於乙個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成乙個對稱矩陣和乙個斜對稱矩陣之和。
實對稱矩陣的性質是：
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的（網易筆試題曾考過）。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似派歲對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4、若λ0具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0e-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
線性代數設三階實對稱矩陣a的特徵值
求答案,謝謝,有沒有這題的具體解答,要補考了求解答,謝謝你了。線性代數 設三階實對稱矩陣a的特徵值為 1 1,2 3 1,已知a的屬於 1 1的特徵向量為p1 0,1,1 第一個問題 由於屬於不同特徵值的特徵向量是相互正交的。因此屬於內1的特徵向容 量與屬於 1的特徵向量正交,假設屬於1的特徵向量為...
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線性代數矩陣求基礎解系，線性代數，求A的逆矩陣
e69da5e887aa62616964757a686964616f31333363396435 e a 1 2 2 2 1 2 2 2 1 第 2，3 列加到第 1 列，e a 5 2 2 5 1 2 5 2 1 第 2，3 行減去第 1 行，e a 5 2 2 0 1 0 0 0 1 得特徵值 ...