1樓：毓良剛棋
線性代來
數是數學的一個分自支，它的研究物件是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
設a為n階矩陣，根據關係式ax=λx，可寫出(λe-a)x=0，繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0，可求出矩陣a有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程(λie-a)x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。
2樓：禹玉花索妝
特徵抄值和特徵向量是很重要的bai，可以說是矩陣的精髓。你du自學的話，榨一下看到這個
zhi定義，可能不知dao道他有什麼用。學到後面就知道它的用處有多大了。
我這裡稍微舉個例子：
求矩陣a的100次方。
這個你總不能去做100次矩陣乘法吧，這裡就用特徵值和特徵向量來算。
找到a的n個特徵值和n個特徵向量，用特徵值組成一個對角陣t，把n個特徵向量放在一起組成一個可逆陣p，於是a的100次方＝[p^(-1)]*(t^100)*p，t是對角陣，所以t的100次方只要把對角線元素取100次方就行了。
這就是矩陣特徵值和特徵向量的用處之一，你光看定義肯定是模模糊糊的，看到後面的應用就知道為什麼要這麼定義了。
線性代數特徵值和特徵向量
3樓：合興銳乙
線性代復
數是數學的一個分支，它
制的研bai
究物件是向量，向量du空間（或稱線性空間zhi），線性dao變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
設a為n階矩陣，根據關係式ax=λx，可寫出(λe-a)x=0，繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0，可求出矩陣a有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程(λie-a)x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。
4樓：李蕊智雲
λ|λ||λ
e-a|
=|λ-1
-1-3||0
λ-30|
|-2-2
λ||λe-a|
=(λ-3)*
|λ-1
-3||-2
λ||λe-a|
=(λ-3)(λ^2-λ-6)
=(λ+2)(λ-3)^2
特徵值專λ=
-2，3，
3對於屬λ=
-2，λe-a
=[-3
-1-3][0
-50]
[-2-2
-2]行初等變換為[1
11][0
10][0
20]行初等變換為[1
01][0
10][0
00]得特徵向量(10
-1)^t
對於重特徵值λ=
3，λe-a=[
2-1-3][00
0][-2
-23]
行初等變換為[2
-1-3][0
-30][0
00]行初等變換為[2
0-3][0
10][0
00]得特徵向量(30
2)^t.
線性代數 特徵值和特徵向量？
5樓：匿名使用者
ααt為一個n維列向量乘一個n維行向量，得到一個n維方陣。這個方陣的每兩行肯定都是線性相關的，因為都是列向量中的一個元素，依次乘行向量中的元素，作為對應位置的值。或者可以算一下，如圖所示，得到的n維矩陣對應的行列式，每行提出對應的公因子，得到一個每行元素都相同的行列式，即秩為1.
當然也可以這麼想，r(ab)≤min(r(a),r(b))，因為a和b為列向量和行向量，r=1，所以r(ab)最大為1，又r(ab)明顯不是0，所以r(ab)=1.
6樓：有俠濮友
線性代數是數學的一個分支，它的研究物件是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。
設a為n階矩陣，根據關係式ax=λx，可寫出(λe-a)x=0，繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0，可求出矩陣a有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程(λie-a)x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。
線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量？
7樓：曾經的一隻豬
特徵值與特徵向量是線性代數的核心也是難點，在機器學習演算法中應用十分廣泛。要求線性代數中的特徵值和特徵向量，就要先弄清楚定義：
設 a 是 n 階矩陣，如果存在一個數 λ 及非零的 n 維列向量 α ，使得aα=λαaα=λα成立，則稱 λ 是矩陣 a 的一個特徵值，稱非零向量 α 是矩陣 a 屬於特徵值 λ 的一個特徵向量。
觀察這個定義可以發現，特徵值是一個數，特徵向量是一個列向量，一個矩陣乘以一個向量就等於一個數乘以一個向量。
請好人幫我講講線性代數「方陣的特徵值和特徵向量」裡面的基礎解系究竟怎麼具體出來？
8樓：
我們課本最常見的就是三階，而且考試也以三階為主，我就給你用三階的舉例說明吧
三階方陣a求特徵向量，特徵值的方法：
1，先求特徵多項式|λe-a|=0 解出特徵值λ1，λ2，λ3
特徵值一定有三個（因為三階，或許會有兩重根(λ1=λ2)，但重某種意義上說也是三個）。
2，把特徵值代入特徵方程(λie-a)x=0求特徵向量
case1.把單根的特徵值代入特徵方程(λie-a)x=0，肯定並且只能解出一個特徵向量。
case2.把重根（兩個相等的根）代入特徵方程(λie-a)x=0求特徵向量的個數看r(λie-a)：
當r(λe-a)=2時，特徵方程(λie-a)x=0有一基礎解系；（基礎解系的個數就是階數減去秩）。
當r(λe-a)=1時，特徵方程(λie-a)x=0有兩基礎解系（注意這兩個基礎解系一定線性無關)。
至此應該有你要的答案了。我再往後說一點。
考試往往不是簡單的求解特徵值，特徵向量。很多情況是讓你判斷它能否對角化。
我們知道實對稱矩陣一定可以對角化。但對於一般的矩陣呢（就如上面說的這個），如何判斷它能否對角化呢？通過上面的兩步以後，我們接下來看第三步。
3.，如果第二步中解出三個單根，則一定可以對角化。
如果第二步中出現二重根，我們只看case2的情況（case1不管），
當r(λe-a)=1時，特徵方程(λie-a)x=0有兩基礎解系，則矩陣a可以對角化
即存在可逆矩陣p，有p^(-1)ap=∧
當r(λe-a)=2時，特徵方程(λie-a)x=0有一基礎解系，則矩陣a一定不可對角化。
體會到了嗎？可對角化必須有三個線性無關的特性向量。還有就是不同特徵值的特徵向量一定線性無關。
9樓：匿名使用者
特徵值相同，不一定有相同的特徵向量
線性代數，求特徵值和特徵向量
10樓：dear豆小姐
||特徵值 λ = -2， 3， 3，特徵向量
： (1 0 -1)^t、(3 0 2)^t。
解：|λe-a| =
|λ-1 -1 -3|
| 0 λ-3 0|
|-2 -2 λ|
|λe-a| = (λ-3)*
|λ-1 -3|
|-2 λ|
|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特徵值 λ = -2， 3， 3
對於 λ = -2， λe-a =
[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]
行初等變換為
[ 1 1 1]
[ 0 1 0]
[ 0 2 0]
行初等變換為
[ 1 0 1]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (1 0 -1)^t。
對於重特徵值 λ = 3， λe-a =
[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]
行初等變換為
[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]
行初等變換為
[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特徵向量 (3 0 2)^t。
答：特徵值 λ = -2， 3， 3，特徵向量： (1 0 -1)^t、(3 0 2)^t。
擴充套件資料
特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用
設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
線性代數特徵值,特徵向量，線性代數，這個特徵值和特徵向量怎麼做？
第一例可得出 1 4 2 2 2 5 4 5 0 第二例可得出 1 6 3 det 0 5 3 0 0 6 4 1 5 3 6 0 3 3 0 5 0 6 4 0 4 0 6 1 5 4 18 6 0 4 3 0 3 0 6 0 5 1 2 5 20 4 18 1 2 2 1 2 2 第三例 3 3...
線性代數求特徵值與特徵向量題，若特徵值是四重根，是不是就應該寫出無關向量組成的基礎解系
多重根未必一定對應相應數量的不相關特徵向量的。例如你這四重根，不一定有四個不相關的特徵向量與之對應。矩陣能否對角化，關鍵的也就在這些多重根是否有對應數量的特徵向量與之對應，如果不足，則不能對角化。學習高等代數需不需要有高等數學為基礎？高等代數和高等數學之間沒有直接的關係。高等代數是數學專業的必修課，...
線性代數，特徵值與特徵向量，如圖，我的思路錯在哪？求詳細解答！謝謝
你把a化為上三角矩陣從而的得到的特值是不對的，對角矩陣上主對角線上的值才是特徵值 你寫的第4行 a 依據什麼？線性代數特徵值與特徵向量問題 如圖 20 觀察行列式 e a 你就會發現所有的 的n 1次方項，係數都是對角線上的元素的相反數。合併後，的n 1次方係數就是主對角線元素的和的相反數。然後，任...