1樓:琴生貝努裡
數學輔導團琴生貝努裡為你解答。
反證法。
如何證明一個矩陣不同特徵值對應特徵向量線性無關,是不是很麻煩過程
2樓:天龍八部大結局
以兩個為例,顯然兩個向量線性相關意味著相差一個常數倍。
然而某個特徵值的特徵向量的非零常數倍仍然是這個特徵值所對應的特徵向量。
這就與特徵值不同相矛盾。更多證明如圖
不同特徵值對應的特徵向量組成的向量組線性無關 怎麼證明
3樓:匿名使用者
看看這個證明:
有疑問請追問或訊息我
4樓:匿名使用者
求解特徵值與特徵向量的步驟為:
1、應先由|λe-a|=0求得特徵值;
2、由方程(λe-a)_x=0 求得特徵向量;
3、由性質:屬不同特徵值的特徵向量一定線性無關。
5樓:藺真戰悠馨
看看這個證明:
有疑問請追問或訊息我
不同特徵值的特徵向量線性無關,怎麼證明
6樓:匿名使用者
設ai是λbaii的特徵向量(
dui=1,2,...,m),且i不等於j時,λi不等於λzhij
設他們的一個dao線性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用a左乘得:
版 a(k1a1+k2a2+..._+kmam)權=0
因為aai=λiai,得:λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘a,多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11. ..1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 為方陣b
x=(k1a1,k2a2,...,kmam)
bx=0
|b|為範德蒙德行列式,顯然不為零,可逆
所以x=(k1a1,k2a2,...,kmam)= o
故kiai=0(i=1,2,..,m)
因為ai不等於0,故ki=0(i=1,2,..,m),故線性無關。
不同特徵值的特徵向量線性無關,怎麼證明呢? 20
7樓:匿名使用者
設ai是λ
i的特徵向量,i=1,2,...,m且i不等於j時,λi不等於λj設他專們的一個線性屬表示
k1a1+k2a2+..._+kmam=0用a左乘
a(k1a1+k2a2+..._+kmam)=a0λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0 因為aai=λiai,再乘a,多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11...1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1)為b^t,顯然其行列式不為零(範德蒙德行列式)顯然有(k1a1,k2a2,...
,kmam)b=0因為b行列式不為零,故b可逆
(k1a1,k2a2,...,kmam)=0故kiai=0,i=1,2,..,m
因為ai不等於0,故ki=0,i=1,2...,m故線性無關。
8樓:匿名使用者
用反證法,假設線性相關,必然有一個向量可以用其他向量表示,可以推出矛盾,你可以試下
一個n階方陣的不同特徵值對應的特徵向量線性無關,錯的,如何證明?
9樓:曉曉休閒
在向量空間v的一組向量a:a1,a2,...am,如果存在不全為零的數 k1, k2, ···,km , 使
則稱向量組a是線性相關的,否則數 k1, k2, ···,km全為0時,稱它是線性無關。由此定義看出a:a1,a2,...
am是否線性相關,就看是否存在一組不全為零的數 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看
這個齊次線性方程組是否存在非零解,將其係數矩陣化為最簡形矩陣,即可求解。此外,當這個齊次線性方程組的係數矩陣是一個方陣時,這個係數矩陣存在行列式為0,即有非零解,從而a:a1,a2,...
am線性相關。
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
10樓:小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下:
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h,相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關,不妨設y=mx,因此,得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】,得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量,而h,k兩個特徵值不相同,即h-k不為0則m=0,則y=mx=0,這與特徵向量非零向量,矛盾!
因此假設不成立,從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為,某個特徵值的一個特徵向量的非零倍數,也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量,因為是倍數關係,因此是線性相關的。
又例如,如果一個特徵值,相應特徵方程解出來,基礎解系中有多個解向量,這些解向量是線性無關的,且都是此特徵值的特徵向量。
11樓:你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得:k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說:對於對稱矩陣,無論有沒有相同的特徵值,它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
12樓:2048人
1. 是
2. 可能會
請教如何理解不同特徵值對應的特徵向量線性無關????
13樓:匿名使用者
對應於不同特徵值的特徵向量之間是線性無關的。問:在對角化裡的p不是線性無關的嗎?
答:是的,n階矩陣a能對角化的充要條件就是a有n個線性無關的特徵向量,p就是這些特徵向量構成的可逆矩陣。問:
而特徵值卻有可能的是相同的答:特徵值相同就是指特徵值的重數。例如矩陣a有3個特徵值1,3,3, 如果對應於特徵值3有2個線性無關的特徵向量,即矩陣多項式|3e—a|=0有2個線性無關的解,即 r(3e—a)=1,則矩陣a可以相似對角化。
另外,如果a是對稱矩陣,則對應於a的不同特徵值的特徵向量不僅線性無關,更是正交的。建議:多看看教材,我用的是同濟的線代書,講義用的是李永樂的。
不要意思,獻醜了,不知你滿不滿意,呵呵!
14樓:世潔漢黛
用數學歸納法
只有一個特徵值時,因特徵向量非0,所以無關。
設k-1個不同的特徵值對應的特徵向量無關
則k個時,作線性組合為0向量,此式記為1
兩邊左乘a即和特徵值聯絡,此式記為2
1式兩邊乘第k個特徵值,此式記為3
3-2即消去第k個特徵向量,由歸納假設,k-1個特徵向量無關,即得1式中的組合係數都為0得證。
為什麼不同特徵值的特徵向量線性無關?
15樓:匿名使用者
這個問題你可以作為一道證明題來做:
證明不同特徵值對應的特徵向量線型無關。
設x1,x2 是a的兩個不同的特徵值;n1,n2分別為其對應的特徵向量。
設存在實數k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;
易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關。
還可以從特徵值和特徵向量的定義式看:
an1=x1*n1;an2=x2*n2
a 為矩陣; x1,x2為特徵值;n1,n2為其對應的特徵向量若n2與n1 線性相關,則n2= b*n1 帶入an2=x2*n2得到:
b*an1=b*x1*n1 ;也即an1=x1*n1得到特徵值x2的存在是沒有意義的,或者說是和x1相等的。
與已知他們是兩個不同的特徵值是矛盾的。
所以:n2與n1 線性相關的假設是錯誤的。
16樓:匿名使用者
如果兩個特徵向量x1,x2線性相關,則對應分量成比例,即x1=k x2
那麼兩個特徵向量的特徵值必然相等。a x1=k a x2=k k2 x2=k2 x1=k1 x1,
所以k1=k2。
為什麼不同特徵值的特徵向量線性無關
這個問題你可以作為一道證明題來做 證明不同特徵值對應的特徵向量線型無關。設x1,x2 是a的兩個不同的特徵值 n1,n2分別為其對應的特徵向量。設存在實數k1.k2 使得 k1 n1 k2 n2 0 易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關。還可以從特徵值和特徵向量的定義式看 an1 x1 n1 an2...
屬於同一特徵值的特徵向量也線性無關麼
同一特徵值對應的特 徵向量不一定線性無關 不同特徵值對應的特徵向量線性無關。求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下 1 計算的特徵多項式 2 求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值 3 對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。需要注意的是 若是的屬於的...
線性代數特徵值,特徵向量，線性代數，這個特徵值和特徵向量怎麼做？
第一例可得出 1 4 2 2 2 5 4 5 0 第二例可得出 1 6 3 det 0 5 3 0 0 6 4 1 5 3 6 0 3 3 0 5 0 6 4 0 4 0 6 1 5 4 18 6 0 4 3 0 3 0 6 0 5 1 2 5 20 4 18 1 2 2 1 2 2 第三例 3 3...