1樓：匿名使用者
這是一類很特殊的方程，字首有點多，是一類範圍很小的方程，但在物理中經常見到，故單獨拿出來進行討論。
我們先從二階線性微分方程入手，y″+p(x)y′+q(x)y+r(x)=0，若r(x)=0，則為二階線性齊次微分方程。進一步地，若係數和x無關，都為常數，即為常係數二階線性齊次微分方程y″+py′+qy=0.
要求解這個方程，可以先求出它的兩個線性無關的特解，再由解的疊加原理得到通解。
設解的形式為y=erx代入方程即得到(r2+pr+q)erx=0⇒r2+pr+q=0.這個等式稱為微分方程的特徵方程，可見特徵方程是一個一元二次代數方程，其解可由求根公式得到。需要分三種情況討論：
1）特徵方程有兩個不等實根r1≠r2
則兩個特解為y1=er1x,y2=er2x，而y1y2≠c，故通解為y=c1er1x+c2er2x.
2）特徵方程有一對共軛復根r1=a+bi,r2=a−bi,b≠0
則兩個特解為y1=eax+bxi,y2=eax−bxi，由尤拉公式有y1=eax[cos(bx)+isin(bx)],y2=eax[cos(bx)−isin(bx)].
特解含有複數部分，我們希望解是實的，運用解的疊加原理，可以湊出新的兩個特解y11=12(y1+y2)=eaxcos(bx),y12=12(y1−y2)=eaxsin(bx).
它們也線性無關，因此通解為y=eax[c1cos(bx)+c2sin(bx)].
3）特徵方程具有兩個相等實根r1=r2
只能得到一個特解y1=er1x.設y2y1=u(x)⇒y2=y1u(x),代入原微分方程可得到u″=0.不放取u=x作為第二個特解。則通解為y=(c1+c2x)er1x.
以上結論可以推廣到常係數n階線性齊次微分方程。
2樓：小白知識之窗
二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
若函式y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的；若函式y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特徵方程為：λ^2+pλ+q=0，然後根據特徵方程根的情況對方程求解。
常微分方程在高等數學中已有悠久的歷史，由於它紮根於各種各樣的實際問題中，所以繼續保持著前進的動力。二階常係數常微分方程在常微分方程理論中佔有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用 。比較常用的求解方法是待定係數法 、多項式法、常數變易法和微分運算元法等。
二階常係數齊次線性微分方程是什麼？
3樓：熱愛社會的飛飛
二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
標準形式 y″+py′+qy=0
特徵方程 r^2+pr+q=0
通解。1、兩個不相等的實根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)
2、兩根相等的實根：y=(c1+c2x)e^(r1x)
3、共軛復根r=α+iβ：y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)
標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
在財務決策中，存貨的經濟批量決策、最大利潤決策、最佳現金持有量決策、固定資產經濟使用年限等決策問題都要用到數學微分法。基本程式如下：
1)建立數學模型：y=f(x)，這裡的函式y既可以是利潤、資金、成本，也可以是生產批量或採購批量；
2)對上述函式求導：y'=f'(x)，且令f'(x)=0，求x0 ；
3)計算上述函式的二階導數，如果函式的二階導數小於零，則存在極大值；反之，存在極小值。在決策分析中，這一程式可以省略，因為根據實際情況可直接確定極大值還是極小值。
二階常係數齊次線性微分方程是什麼？
4樓：98聊教育
二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
標準形式 y″+py′+qy=0。
特徵方程 r^2+pr+q=0。
通解：1、兩個不相等的實根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)。
2、兩根相等的實根：y=(c1+c2x)e^(r1x)。
3、共軛復根r=α+iβ：y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)，標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。
二階線性微分方程的求解方式分為兩類
一是二階線性齊次微分方程，二是線性非齊次微分方程。前者主要是採用特徵方程求解，後者在對應的齊次方程的通解上加上特解即為非齊次方程的通解。齊次和非齊次的微分方程的通解都包含一切的解。
二階常係數齊次線性微分方程是什麼?
5樓：惜生芒
二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
標準形式 y″+py′+qy=0
特徵方程 r^2+pr+q=0
通解。1、兩個不相等的實根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)
2、兩根相等的實根：y=(c1+c2x)e^(r1x)
3、共軛復根r=α+iβ：y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)，標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
如果f(x)=p（x），pn（x）為n階多項式。
若0不是特徵值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因為qm(x)與pn（x）為同次的多項式，所以qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定。
比如如果pn（x）=a（a為常數），則設qm(x)=a（a為另一個未知常數）；如果pn（x）=x，則設qm(x)=ax+b；如果pn（x）=x^2，則設qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特徵方程的單根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*qm(x)。
若0是特徵方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*qm(x)。
6樓：惠企百科
二階常係數齊次線性微分方程：ay''+by'+cy=e^mx特解y=c(x)e^mx，ay''+by'+cy=asinx+bcosx特解y=msinx+nsinx，ay''+by'+cy=mx+n特解y=ax。二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。
自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
二階常係數齊次線性方程特點二階常係數線性齊次微分方程，指含有未知函式最高階導數或微分為二階，且係數為常數的齊次方程。二階常係數線性齊次微分方程是二階常係數線性非齊次微分方程解的基礎。二階常係數齊次線性方程的形式為y''+py'+qy=0其中p，q為常數，其特徵方程為λ^2+pλ+q=0。
二階常係數齊次線性微分方程通解二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的
y 2y 5y 0,設y e f x 則 y e f x f x y e f x f x 2 e f x f x 0 y 2y 5y e f x f x 2 e f x f x 2e f x f x 5e f x 0 f x 2 f x 2f x 5,當f x ax b,a,b是常數時。f x 0,...
二階常係數齊次線性微分方程若等式右邊為常數，在求特解時需要設be kx嗎？還是隻要設b就可以了
y k1 k2 y k1.k2 y k3yg ae k1.x be k2.x 特解yp k4 yp k1 k2 yp k1.k2 yp k3 k1.k2 k4 k3 k4 k3 k1.k2 通解y yg yp ae k1.x be k2.x k3 k1.k2 這個二階常係數齊次線性微分方程的代入公式...
若二階常係數線性齊次微分方程yayby0的通解為y
非齊次微分 方程baiy ay by x對應du的齊次微分方程y ay by 0的通解zhi為 y c1 c2x ex,dao 故可設專非齊次微分方程y 屬 ay by x的特解 y mx n,y m,y 0,代入非齊次微分方程 y ay by x,可得 am b mx n x,從而 m 1 b,n...