1樓：匿名使用者
y'' - 2y' + 5y = 0,
設y = e^[f(x)],則
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
當f(x) = ax + b, a,b是常數時。
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或 y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2個解都滿足微分方程。所以，微分方程的實函式解為，
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的實函式的通解為，
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中，c1,c2 是任意常數。
記 c1 = 2c1e^b, c2 = 2c2e^b,
有 y = e^x[c1cos(2x) + c2sin(2x)]
c1,c2為任意常數。
這個，可能就是特徵方程無實數根時，通解的由來吧~~
【俺記憶力很差，公式都記不住，全靠傻推。。
這樣的壞處是費時，好處是，自己推1遍，來龍去脈就清楚1些了。
不知道，俺的傻推過程對你的疑問有點幫助沒~~】
2樓：吉祿學閣
r是微分方程的特徵值，它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。
將其看成一元二次方程，判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根，但在複數範圍內有根，根為： r1=1+2i r2=1-2i；
在複數領域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等，虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數；所以本題的兩個特徵值符合這一關係，故謂共軛復根。
3樓：風長月
就是解r^2-2r+5=0這個方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
應該沒有什麼難理解的啊
4樓：匿名使用者
r^2-2r+5=0
δ=b^2-4ac=16<0
所以這個方程沒有實根，而是是2個共軛復根。
復根就是用複數
表示的根
複數是比實數更大範圍的數， 由實部和虛部組成。
虛部有個i，i^2=－1，如設實數m，n，則複數可以表示為m+ni，m是實部，ni為虛部。
其中m+ni和m-ni是共軛關係，就是虛部是相反數，實部相等的兩複數！
復根一元二次方程的解法是m=-b/2a n=(根號下|δ|)/2a希望您能明白
5樓：邢俊傑
r^2-2r+5=0 在實數域內你能
得到根麼？在複數域內則可得到一對共軛復根，事實上任何實係數一元多次方程若有虛根，則虛根必共軛成對出現！
當然你可能更想知道怎麼由這對共軛根得到該微分方程的通解，這問題個根據兩種情況解決
1）你只是學簡單地高等數學，或者搞工程技術，那麼只需要記住怎麼由該虛根求得微分方程通解就行了，就是記住公式，記住虛根實虛部和微分方程通解的對應關係（或稱為微分方程解的結構）
2）你對求解過程非常感興趣，或者是學專業數學的，那麼你可以參考任何一本專業講常微分方程的書籍，都能得到你的答案
二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的 150
6樓：愛佳佳的恐龍
標準形式 y″+py′+qy=0
特徵方程 r^2+pr+q=0
通解兩個不相等的實根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)兩根相等的實根：y=(c1+c2x)e^(r1x)共軛復根r=α+iβ：
y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)
標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
7樓：匿名使用者
有兩種方法：
第一種是套公式待定係數：方程右邊如果是exp(ax)(am1(x)cosx+bm1(x)sinx)，則特解的形式為exp(ax)(cm(x)cosx+dm(x)sinx). 其中am1指次數為m1的x的多項式，m=max.
將該形式代入方程，確定出cm和dm。
這種方法技術含量低，普遍性差。
第二種是laplace變換：將方程兩邊做laplace變換，由變換公式l[y']=pl[y]+y(0)，微分方程將變成代數方程，解出l[y]，再將其反演，得到y
這種方法技術含量高，普遍性好，並且可以直接得到完整解，而不只是特解。
8樓：匿名使用者
特徵根方程
假設解是e^(r*t)
r是待定常數
代入可以得到
(r^2+k^2)e^(r*t)=0
r^2+k^2=0
r=ki,-ki
然後由尤拉公式
e^(ki)=cosk+isink
e^(-ki)=cosk-isink
x=a(cosk+isink)+b(cosk-isink)整理即得
x=c1 cosk + c2 sink
然後任取一個為0，一個為1即可
二階常係數非齊次線性微分方程的求解
9樓：是你找到了我
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)，特解
1、當p^2-4q大於等於0時，r和k都是實數，y*=y1是方程的特解。
2、當p^2-4q小於0時，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一對共軛復根，y*=1/2（y1+y2）是方程的實函式解。
10樓：晏衍諫曉楓
求微分方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解
解：先求齊次方程
y''+3y'+2y=0的通解：
其特徵方程
r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根r₁=-1，r₂=-2;
故齊次方程的通解為y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)
設其特解
y*=(ax²+bx)e^(-x)
y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx)e^(-x)=[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)
y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)
=[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)
代入原式得：
[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)+3[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)+2(ax²+bx)e^(-x)=3xe^(-x)
化簡得(2ax+2a+b)e^(-x)=3xe^(-x)
故2a=3,
a=3/2;
2a+b=3+b=0,
b=-3.
故y*=[(3/2)x²-3x]e^(-x)
於是通解為y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)+[(3/2)x²-3x]e^(-x)
11樓：匿名使用者
1.對於這種型別的二階非齊次微分方程，求解的方法：
（1）先求出對應的齊次微分方程的通解：y
（2）再求出該方程的一個特解：y1
則方程的通解為：y+y1
2.方程特解的求法：
形如y''+py'+qy=acosωx+bsinωx 的方程，有如下形式的特解：y1=x^k(acosωx+bsinωx)
其中 a、b為待定係數，k的取值方法如下：
（1）當±iω不是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時，k=0
（2）當±iω是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時，k=1
12樓：香劍魏念之
令原方程的通解
為y=ue^，代入化簡可得：u''-u'=x(u'-x+1)'-(u'-x+1)=0積分得：u'-x+1=ae^積分化簡可得：
u=(1/2)x^2-x+ae^+b從而得原方程的通解為：y=[(1/2)x^2-x+b]e^+ae^
13樓：
e^ix=cosx+isinx
查一下尤拉公式
就是利用複數，三角函式的特點總結出來的規律，來求解。
14樓：王飛和
圖中求積分的過程，你可以先利用無窮級數求積分的方法去求
2階常係數齊次線性微分方程的通解。為什麼用特徵方程來求，這方法是怎麼來的？
15樓：神的味噌汁世界
特徵方程只是源於e^(ax)'=ae^(ax)這個特殊性質。如果你覺得這太「巧合」了，我有一個看似更令人信服的解法，即分解降解
二階常係數非齊次線性微分方程特解怎麼設？
16樓：demon陌
較常用的幾個：
1、ay''+by'+cy=e^mx
特解 y=c(x)e^mx
2、ay''+by'+cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、ay''+by'+cy= mx+n
特解 y=ax
二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
若函式y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的；若函式y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特徵方程為：λ^2+pλ+q=0，然後根據特徵方程根的情況對方程求解。
擴充套件資料：
通解=非齊次方程特解+齊次方程通解
對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)
其中q(x)是與p(x)同次的多項式，k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根（上文有提），依次取0,1或2.
將y*代入方程，比較方程兩邊x的同次冪的係數（待定係數法），就可確定出q(x)的係數而得特解y*。
多項式法：
設常係數線性微分方程y''+py'+qy =pm
f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ，這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。
升階法：
設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，當f(x)為多項式時，設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此時，方程兩邊同時對x求導n次，得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此時，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1)，依次升階，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一個特解y(x)。
二階常係數齊次線性微分方程
這是一類很特殊的方程，字首有點多，是一類範圍很小的方程，但在物理中經常見到，故單獨拿出來進行討論。我們先從二階線性微分方程入手，y p x y q x y r x 0，若r x 0，則為二階線性齊次微分方程。進一步地，若係數和x無關，都為常數，即為常係數二階線性齊次微分方程y py qy 0.要求解...
二階常係數非齊次線性微分方程的通解，順便說一下啥叫特徵根謝謝
通解就是有常數，帶進去不論常數是多少，都滿足微分方程，而特解就是任意給出了的常數，帶進去照樣滿足方程，特解就是一個特例，這個特例其實是通解裡的常數任意給出來後的一個值 二階常係數非齊次線性微分方程怎麼解？怎麼設？10 先寫出特徵方程，解出r根 在看f x 為哪種形式，設出特解形式。要記得這些公式 二...
二階常係數齊次線性微分方程若等式右邊為常數，在求特解時需要設be kx嗎？還是隻要設b就可以了
y k1 k2 y k1.k2 y k3yg ae k1.x be k2.x 特解yp k4 yp k1 k2 yp k1.k2 yp k3 k1.k2 k4 k3 k4 k3 k1.k2 通解y yg yp ae k1.x be k2.x k3 k1.k2 這個二階常係數齊次線性微分方程的代入公式...