1樓：匿名使用者
^y=e^(2x)+(1+x)e^x，
∴y'=2e^(2x)+(2+x)e^x,y''=4e^(2x)+(3+x)e^x,代入原方程得
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x,
∴(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)-γ]e^x=0,對任意x都成立，
∴4+2α+β=0，
3+2α+β-γ=0，
1+α+β=0.
解得α=-3，β=2，γ=-1.
∴原方程是y''-3y'+2=-e^x,
特徵根是1,2，其通解是y=c1e^(2x)+c2e^x+e^(2x)+(1+x)e^x.
2樓：匿名使用者
4e^(2x)+e^x+e^x+(1+x)e^x+α[2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x]+β
[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^xe^(2x)(4+2α+β)+e^x[3+2α+β-γ]+xe^x(1+α+β)=0
4+2α+β=0 (1)
3+2α+β-γ=0 (2)
1+α+β=0 (3)
(1-3) -> α=-3 代入內(3) -> β=2 代入(2) -> γ=-1
原方程變容
為：y''-3y'+2y=-e^x
其通解： y=c1e^x+c2e^(2x)+xe^x
設二階常係數微分方程y"＋ay'＋βy＝γe∧x有一個特解為y＝e∧2x＋（1＋x)e∧x 20
3樓：就不想回那裡
由：y=e2x+（
1+x）ex得： y′=2e2x+（2+x）ex， y″=4e2x+（3+x）ex，將y，y′，y″代入原微分方程，整回理可得：（答4+2α+β）e2x +（1+α+β）xex+（3+2α+β-γ）ex=0，① 因為：
y=e2x+（1+x）ex是方程的一個特解，所以對於任意有定義的x，①式恆成立，所以有： 4+2α+β＝0 1+α+β＝0 3+2α+β?γ＝0 ．解得：
α=-3，β=2，γ=-1，故原微分方程的具體表示式為： y″-3y′+2y=-ex，其對應齊次方程的特徵方程為： λ2-3λ+2=0，求得特徵值為：
λ1=1，λ2=2，對應齊次方程的通解為： . y =c1ex+c2e2x，又因為：
非齊次項為-ex，且λ=1為特徵根，所以：可設原微分方程的特解為 y*=axex，代入原微分方程可得：a=1，所以：
y*=xex，由線性微分方程解的結構定理得原方程的通解為： y=. y +y*=c1ex+c2e2x+xex．
設二階常係數線性微分方程y″+αy′+βy=γex的一個特解為y=e2x+（1+x）ex，試確定常數α、β、γ，並求
4樓：中色
由：copyy=e2x+（1+x）
baiex得：
y′=2e2x+（2+x）ex，
y″=4e2x+（3+x）ex，
將y，y′，y″代入
du原微分方程，整理可得zhi：
（4+2αdao+β）e2x +（1+α+β）xex+（3+2α+β-γ）ex=0，①
因為：y=e2x+（1+x）ex是方程的一個特解，所以對於任意有定義的x，①式恆成立，
所以有：
4+2α+β＝0
1+α+β＝0
3+2α+β?γ＝0
．解得：α=-3，β=2，γ=-1，
故原微分方程的具體表示式為：
y″-3y′+2y=-ex，
其對應齊次方程的特徵方程為：
λ2-3λ+2=0，
求得特徵值為：λ1=1，λ2=2，
對應齊次方程的通解為：.y
=cex+c
e2x，又因為：非齊次項為-ex，且λ=1為特徵根，所以：可設原微分方程的特解為 y*=axex，代入原微分方程可得：a=1，
所以：y*=xex，
由線性微分方程解的結構定理得原方程的通解為：
y=.y
+y*=cex
+ce2x+xex．
設二階常係數線性微分方程y″+αy′+βy=γe-x的一個特解為y=ex+（1+x）e-x，則此方程的通解為______
5樓：天使
將特解y=ex+（1+x）e-x代入原方程得：
ex+（x-1）e-x+α（ex-xe-x）+β[ex+（1+x）e-x]=γe-x
即：[（β-γ-1）+（-α+β+1）x]e-x+（1+α+β）ex=0
∴?α+β+1＝0
β?γ?1＝0
α+β+1＝0
解得：α=0，β=-1，γ=-2
所以，原方程為：y″-y=-2e-x，
其特徵方程為：r2-1=0
解得：r1=1，r2=-1
因此原方程對應的齊次線性微分方程的通解為：y＝kex+ke
?x，（k1，k2為任意常數）
故原方程的通解為：
y＝kex+k
e?x+ex
+(1+x)e
?x＝cex
+ce?x+xe
x．（c1，c2為任意常數）
各位大佬，高數非齊次線性微分方程的特解y*怎麼設?就是qm(x)，怎麼設。
6樓：粒下
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y*設法分三種情況。
1、如果f(x)=p（x），pn（x）為n階多項式。
若0不是特徵值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因為qm(x)與pn（x）為同次的多項式，所以qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定。
比如如果pn（x）=a（a為常數），則設qm(x)=a（a為另一個未知常數）；如果pn（x）=x，則設qm(x)=ax+b；如果pn（x）=x^2，則設qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特徵方程的單根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*qm(x)。
若0是特徵方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*qm(x)。
2、如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）為n階多項式。
若α不是特徵值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=qm(x)*e^αx，qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定。
若α是特徵方程的單根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*qm(x)*e^αx。
若α是特徵方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*qm(x)*e^αx。
3、如果f(x)=[pl（x）cos(βx)+pn（x）sin(βx)]e^αx，pl（x）為l階多項式，pn（x）為n階多項式。
若α±iβ不是特徵值，在令特解y*=x^k*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m= max ，rm1(x)與rm2(x)設法要根據pl（x）或pn（x）的情況而定（同qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定的原理一樣）。
即y*=[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx
若α±iβ不是特徵值，在令特解y*=x^k*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx。
7樓：匿名使用者
如圖qm(x)是與pm(x)同次的多項式
舉個例子
二階微分方程為……=2e^x
此時pm(x)=2
設qm(x)=b
如果二階微分方程為……=2xe^x
設qm(x)=ax+b
如果二階微分方程為……=2x²e^x
設qm(x)=ax²+bx+c(不過這種情況的題目很少很少見，我是沒見過)
rm(x)是m次多項式，m=max
什麼意思呢？
跟上面的類似。
假設二階微分方程為……e^x(2cosx+2sinx)明顯此時為pl(x)=pn(x)=2，那麼就是x^0設rm1(x)=a，rm2(x)=b
如果二階微分方程為……e^x(2xcosx+2sinx)這時候最大次數是x^1，
所以設rm1(x)=ax+b，rm2(x)=cx+d二次方的我就不列舉了，很少見。
8樓：命定
先將原方程等號右端的自由項看成 f(x)=x^k · pm(x) · e^λx 方程①
1、對應題主的情況一，qm(x)=b0
原方程 y"+y'-2y=2e^x
原方程對應的齊次特徵方程 r^2+r-2=0，
齊次特徵根 r1=1
r2=-2
然後看到原方程等號右端為 2e^x，
將 2e^x 與 x^k·pm(x)·e^λx 比較，很明顯可以看出λ=1
λ=1=r1，而λ≠r2，可以看到λ為單特徵根因為只與其中的一個r1相等
所以k=1，因為單特徵根所以k取1。
還記得回答頂部的方程①嗎？
方程①變成了 f(x)=x^1 · pm(x) · e^1x =x · e^x · pm(x)
發現m還不知道，再將 x·e^x·pm(x) 與 2e^x 比較，
很明顯可以看出pm(x)=2，所以設qm(x)=b0，常數對應常數嘛
因為 f(x)=x·e^x·pm(x) 中的x是根據k取得，跟pm(x)無關
e^x是根據λ取得，跟pm(x)也無關。
所以 pm(x) 只可能與 2e^x 的常數2有關。既然pm(x)只與常數有關，
那就設qm(x)為一個常數b0
所以 y*=x^k · pm(x) · e^λx
最後設為 y*=b0 · x · e^x
2、對應題主的情況二，qm(x)=b0x+b1
同理原方程 y"-3y'+2y=x·e^2x
r1=1，r2=2
比較e^2x與e^λx，所以λ=2
λ=2=r2，所以λ為單特徵根，所以k=1
此時原方程等號右端還有一個 x ，就是留下來對比pm(x)的
所以 qm(x) 設為 b0x+b1 形式
所以最後y*=x^k · qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x
即y*= x · (b0x+b1) · e^2x
3、對應題主的情況三，qm(x)=b0x^2+b1x+b2
原方程 2y"+5y'=5x^2-2x-1
r1=0
r2=-5/2
對比λ=0=r1，所以k取1，
而pm(x)要去對應5x^2-2x-1，所以qm(x)設為b0x^2+b1x+b2
所以最後y*=x^k · qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x
即y* = b0x^3+b1x^2+b2x
設二階常係數微分方程y"＋ay'＋βy＝γe∧x有一個特解為y＝e∧2x＋（1＋x)e∧x
9樓：阮桂月賽佁
將特解y=ex+（
1+x）e-x代入原方程得：
ex+（x-1）e-x+α內（ex-xe-x）+β[ex+（1+x）e-x]=γe-x
即：[（β-γ-1）+（-α+β+1）x]e-x+（1+α+β）ex=0
∴?α+β+1＝容0
β?γ?1＝0
α+β+1＝0
解得：α=0，β=-1，γ=-2
所以，原方程為：y″-y=-2e-x，
其特徵方程為：r2-1=0
解得：r1=1，r2=-1
因此原方程對應的齊次線性微分方程的通解為：y＝k1ex+k2e?x，（k1，k2為任意常數）
故原方程的通解為：
y＝k1ex+k2e?x+ex+(1+x)e?x＝c1ex+c2e?x+xex．（c1，c2為任意常數）
二階常係數齊次線性微分方程通解二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的
y 2y 5y 0,設y e f x 則 y e f x f x y e f x f x 2 e f x f x 0 y 2y 5y e f x f x 2 e f x f x 2e f x f x 5e f x 0 f x 2 f x 2f x 5,當f x ax b,a,b是常數時。f x 0,...
二階常係數齊次線性微分方程
這是一類很特殊的方程，字首有點多，是一類範圍很小的方程，但在物理中經常見到，故單獨拿出來進行討論。我們先從二階線性微分方程入手，y p x y q x y r x 0，若r x 0，則為二階線性齊次微分方程。進一步地，若係數和x無關，都為常數，即為常係數二階線性齊次微分方程y py qy 0.要求解...
二階常係數齊次線性微分方程若等式右邊為常數，在求特解時需要設be kx嗎？還是隻要設b就可以了
y k1 k2 y k1.k2 y k3yg ae k1.x be k2.x 特解yp k4 yp k1 k2 yp k1.k2 yp k3 k1.k2 k4 k3 k4 k3 k1.k2 通解y yg yp ae k1.x be k2.x k3 k1.k2 這個二階常係數齊次線性微分方程的代入公式...