1樓：天下會無名
這道題應該這樣做，原不等式就等價於：
alna+blnb-(a+b)ln(a+b)+(a+b)ln2>=0
<=>alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]>=0
建構函式f(x)=xlnx+blnb-(x+b)ln[(x+b)/2]
其導數f'(x)=lnx+1-(ln[(x+b)/2]+1)=ln[2x/(x+b)]
顯然可以解得當x∈(0,b)時f'(x)<0
當x∈(b,+∞)時，f'(x)>0
所以f(x),在(0,b)上單調遞減，在(b,+∞)上單調遞增，所以x=b處f(x)取到最小值。
所以在(0,+∞)上恆有f(x)>=f(b)=0｛該式對任意的b都成立。｝
所以也必有f(a)>=0
也即alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]>=0
證畢.事實上，本題中a,b是對稱的正是因為a,b對稱，所以可以固定其中一個變數（事實上這個變數也是可以取任意值的，也就是說我們證明了對任意取值的b，原式都成立），這種證明方法叫做區域性固定法，固定其中一個變數，如果在另一個變數運動的同時，這個式子恆成立，則可說明原式成立該式成立，因為本題a,b對稱，我還沒有寫完，同理可證若假設a不動，b設為x，上式成立..
好吧，把證明過程補完：
同理可設f(x)=xlnx+alna-(x+a)ln[(x+a)/2]
同樣方發可證上式f(x)>=f(a)=0
上式對任意的a都成立
於是f(b)>=f(a)=0
綜合以上兩個方面，alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]>=0成立
對於(2a/a+b)^a>=(a+b/2b)^b，我想應該是：
[2a/(a+b)]^a>=[(a+b)/2b]^b吧。
這個式子要如果要用二項式定理不見得好，至少我做得很繁，而且按照常理，對於指數不等式的證明一般思路都是取對數，把複雜問題簡單化，而他的做法把對數給去掉，這不是把簡單問題複雜化麼？
2樓：
令f(x)=xlnx+(x+b)ln2-(x+b)ln(x+b)-blnb 其中a＜ x＜b,求導數，使導數為0，求的該點。並和在a,b點處的值作比較即可。
數學 不等式證明 急 求解。急，數學，證明不等式
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