1樓:3k背景輻射
積或和。
即極值定理:已知x、y都是正數,x+y=s,xy=p。 (1)如果s是定值,那麼當x=y時,p有最大值; (2)如果p是定值,那麼當x=y時,s有最小值。
不等式證明都有哪幾種方法
2樓:琳述
比較法比較法是證明不等式的最基本方法,具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式(或分式)時,常用作差比較,當求證的不等式兩端是乘積形式(或冪指數式時常用作商比較)
例1已知a+b≥0,求證:a3+b3≥a2b+ab2
分析:由題目觀察知用"作差"比較,然後提取公因式,結合a+b≥0來說明作差後的正或負,從而達到證明不等式的目的,步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵(a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明: =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈r+,且a≠b,求證:aabb>abba
分析:由求證的不等式可知,a、b具有輪換對稱性,因此可在設a>b>0的前提下用作商比較法,作商後同"1"比較大小,從而達到證明目的,步驟是:10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明:由a、b的對稱性,不妨解a>b>0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0,∴ab1,a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba>1,又abba>0∴aabb>abba
練習1 已知a、b∈r+,n∈n,求證(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)
基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 變形有:
(1)若a、b∈r,則a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,取等號)
(2)若a、b∈r+,則a+b≥ 2ab (當且僅當a=b時,取等號)
(3)若a、b同號,則 ba+ab≥2(當且僅當a=b時,取等號)
例3 若a、b∈r, |a|≤1,|b|≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析:通過觀察可直接套用: xy≤x2+y22
證明: ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1,當且僅當a1+b2=1時,等號成立
練習2:若 ab0,證明a+1(a-b)b≥3
綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發,根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4,設 a0,b0,a+b=1,證明:(a+1a)2+(b+1b)2≥252
證明:∵ a0,b0,a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習3:已知a、b、c為正數,n是正整數,且f (n)=1gan+bn+**3
求證:2f(n)≤f(2n)
分析法從理論入手,尋找命題成立的充分條件,一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時,便可推出原不等式成立,這種方法稱為分析法。
例5:已知a0,b0,2ca+b,求證:c-c2-ab 分析:觀察求證式為一個連鎖不等式,不易用比較法,又據觀察求證式等價於 |a-c| 要證c-c2-ab 只需證-c2-ab 證明: 即證 |a-c| 即證 (a-c)2 即證 a2-2ac<-ab ∵a>0,∴即要證 a-2c<-b 即需證2+b<2c,即為已知 ∴ 不等式成立 練習4:已知a∈r且a≠1,求證:3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2 放縮法放縮法是在證明不等式時,把不等式的一邊適當放大或縮小,利用不等式的傳遞性來證明不等式,是證明不等式的重要方法,技巧性較強常用技巧有:(1)捨去一些正項(或負項),(2)在和或積中換大(或換小)某些項,(3)擴大(或縮小)分式的分子(或分母)等。 例6:已知a、b、c、d都是正數 求證: 1 分析:觀察式子特點,若將4個分式商為同分母,問題可解決,要商同分母除通分外,還可用放縮法,但通分太麻煩,故用放編法。 證明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1 又由ab ∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b 綜上知:1 練習5:已知:a<2,求證:loga(a+1)<1 6換元法 換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易,化繁為簡的作用,有些問題直接證明較為困難,若通過換元的思想與方法去解就很方便,常用於條件不等式的證明,常見的是三角換元。 (1)三角換元: 是一種常用的換元方法,在解代數問題時,使用適當的三角函式進行換元,把代數問題轉化成三角問題,充分利用三角函式的性質去解決問題。 例7、若x、y∈r+,且 x-y=1 a=(x-1y)(y+1y)。1x,求證0 證明: ∵x,y∈r+, 且x-y=1,x=secθ , y=tanθ ,(0<θ ∴ a=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ =1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ =sinθ ∵0<θ 複習6:已知1≤x2+y2≤2,求證:12 ≤x2-xy+y2≤3 (2)比值換元: 對於在已知條件中含有若干個等比式的問題,往往可先設一個輔助未知數表示這個比值,然後代入求證式,即可。 例8:已知 x-1=y+12=z-23,求證:x2+y2+z2≥4314 證明:設x-1=y+12=z-23=k 於是x=k+1,y=zk-1,z=3k+2 把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2 =14(k+514)2+4314≥4314 反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚,可以考慮反證法,即先否定結論不成立,然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理,逐步推匯出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論,從而肯定原有結論是正確的,凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題,適宜用反證法。 例9:已知p3+q3=2,求證:p+q≤2 分析:本題已知為p、q的三次 ,而結論中只有一次 ,應考慮到用術立方根,同時用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。 證明:解設p+q>2,那麼p>2-q ∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3 將p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+6<0 即6(q-1)2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2 練習7:已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0. 求證:a>0,b>0,c>0 數學歸納法 與自然數n有關的不等式,通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。 例10:設n∈n,且n>1,求證: (1+13)(1+15)...(1+12n-1)>2n+12 分析:觀察求證式與n有關,可採用數學歸納法 證明:(1)當n=2時,左= 43,右=52 ∵43>52∴不等式成立 (2)假設n=k(k≥2,k∈n)時不等式成立,即(1+13)(1+15)...(1+12k-1)>2k+12 那麼當n=k+1時,(1+13)(1+15)...(1+12k-1)(1+12k+1)>2k+12·(1+12k+1)1 要證1式左邊> 2k+32,只要證2k+12· 2k+22k+1>2k+322 對於2〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3 〈二〉(2k+2)2> (2k+1)(2k+3) 〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3 〈二〉4>3 3 ∵3成立 ∴2成立,即當n=k+1時,原不等式成立 由(1)(2)證明可知,對一切n≥2(n∈n),原不等式成立 練習8:已知n∈n,且n>1,求證: 1n+1+1n+2+...+12n> 1324 構造法根據求證不等式的具體結構所證,通過建構函式、數列、合數和圖形等,達到證明的目的,這種方法則叫構造法。 1建構函式法 例11:證明不等式:x1-2x 證明:設f(x)= x1-2x- x2 (x≠0) ∵f (-x) =-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2 =x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2 =f(x) ∴f(x)的影象表示y軸對稱 ∵當x>0時,1-2x<0 ,故f(x)<0 ∴當x<0時,據影象的對稱性知f(x)<0 ∴當x≠0時,恆有f(x)<0 即x1-2x 練習9:已知a>b,2b>a+c,求證:b- b2-ab 2構造圖形法 例12:若f(x)=1+x2 ,a≠b,則|f(x)-f(b)|< |a-b| 分析:由1+x2 的結構可知這是直角座標平面上兩點a(1,x),0(0,0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2 於設a(1,a),b(1,b)則0a= 1+a2 1.a 0,b 0,2 根號 ab a b 2 根號 2.ab 2 a 2 b 2 2 3.柯西,a1b1 a2b2 a3b3 2 4.a,b,c 0,a b c 3 三次根號 abc a 3 b 3 c 3 3abc 5.a,b 0,m,n屬於正整數,a m n b m n a m b n a n... 初二數學 北師大課標版 下冊第一章一元一次不等式 1不等關係.ppt 不等關係 生活中我們經常聽到類似下面的話新課標對數函式ppt，你是怎樣瞭解的？地球上海洋麵積大於陸地面積，鉛球的質量比籃球的質量大，新課標圓的面積ppt 生活中還有哪 初二數學輔導資料 不等式組 新課標 原創 例4 一元一次不等式... 可以當等式計算。但是你的運算不成立。原理 等式或者不等式左右兩邊同時加減乘除 版一個相權同的數,等式或者不等式依然成立。2 x 0 2 x x 0 x 不等式左右兩邊同時加x,不等式依然成立。2 x即x 2 憑感覺,你也應該猜到2 x 0,只有x 2時,才成立。不能。不等式的性質和等式的性質不相同。...不等式放縮法常用的公式,用放縮法證明不等式時,常用的縮放技巧或不等式有哪些
初二不等式，初二不等式
不等式可以直接當成等式算嗎,不等式可以相乘除嗎為什麼