1樓:匿名使用者
均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是數學中的一個重要公式:公式內容為hn≤gn≤an≤qn,即調和平均數不超過幾何平均數,幾何平均數不超過算術平均數,算術平均數不超過平方平均數。
均值不等式是什麼啊
2樓:森海和你
均值不等式是數學中的一個重要公式。公式內容為hn≤gn≤an≤qn,即調和平均數不超過幾何平均數,幾何平均數不超過算術平均數,算術平均數不超過平方平均數。
均值不等式部分的公式:
a^2+b^2 ≥ 2ab
√(ab)≤(a+b)/2 ≤(a^2+b^2)/2a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3≥ab+bc+ac被稱為均值不等式。·即調和平均數不超過幾何平均數,幾何平均數不超過算術平均數,算術平均數不超過平方平均數,簡記為「調幾算方」。
其中:,被稱為調和平均數。
,被稱為幾何平均數。
,被稱為算術平均數。
,被稱為平方平均數。
3樓:勞碧曼字鈺
均值不等式的簡介】 概念:
1、調和平均數:hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數:gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算術平均數:an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數:qn=√
[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、...
、an∈r
+,當且僅當a1=a2=
...=an時取「=」號
均值不等式的一般形式:設函式d(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當r不等於0時);
(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))
則有:當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) 4樓:典亦玉韓知 說實話我也不知道,給你網上弄了些,希望可以幫助你 ●【均值不等式的簡介】 概念: 1、調和平均數:hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數:gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算術平均數:an=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數:qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、... 、an∈r +,當且僅當a1=a2= ...=an時取「=」號 均值不等式的一般形式:設函式d(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當r不等於0時); (a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)) 則有:當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) 5樓:匿名使用者 概念:1、調和平均數:hn= 2、幾何平均數:gn= 3、算術平均數:an= 4、平方平均數:qn= 5、均值定理: 如果 屬於 正實數 那麼 且僅當時 等號成立。 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、... 、an∈r +,當且僅當a1=a2= ... =an時取「=」號 均值不等式的一般形式:設函式d(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當r不等於0時); (a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)) 則 [1]當注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) 由以上簡化,有一個簡單結論,中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2] 均值定理的證明:因為 a 〉0 , b 〉0 所以( a+b)/2 - √ab =( a+b-2√ab)/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0 即( a+b)/2≥√ab. 當且僅當a= b ,等號成立。[1] 編輯本段 記憶調幾算方,即調和平均數【hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤ 幾何平均數【gn=(a1a2...an)^(1/n) 】≤算術平均數【an=(a1+a2+... +an)/n】 ≤平方平均數:【qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n】 hn≤gn≤an≤qn 編輯本段 變形(1)對實數a,b,有a^2+b^2≥2ab (當且僅當a=b時取「=」號),a^2+b^2>0>-2ab (2)對非負實數a,b,有a+b≥2√(a×b)≥0,即(a+b)/2≥√(a×b)≥0 (3)對負實數a,b,有a+b<-2√(a*b)<0 (4)對實數a,b,有a(a-b)≥b(a-b) (5)對非負實數a,b,有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)對實數a,b,有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)對實數a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)對實數a,b,c,有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)對非負數a,b,有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)對非負數a,b,c,有(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3) 編輯本段 證明均值不等式 方法很多,數學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。 引理:設a≥0,b≥0,則(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。 注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。 原題等價於:((a1+a2+...+an)/n)^n≥a1a2...an。 當n=2時易證; 假設當n=k時命題成立,即 ((a1+a2+...+ak)/k)^k≥a1a2...ak。那麼當n=k+1時,不妨設a(k+1)是a1,a2 ,...,a(k+1)中最大者,則 k a(k+1)≥a1+a2+...+ak。 設s=a1+a2+...+ak, ^(k+1) =^(k+1) ≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理 =(s/k)^k* a(k+1) ≥a1a2...a(k+1)。用歸納假設 下面介紹個好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式:上凸函式f(x),x1,x2,...xn是函式f(x)在區間(a,b)內的任意n個點, 則有:f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 設f(x)=lnx,f(x)為上凸增函式 所以,ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圓中用射影定理證明(半徑不小於半弦) 編輯本段 應用例一 證明不等式:2√x≥3-1/x (x>0) 證明:2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以,2√x≥3-1/x 例二 長方形的面積為p,求周長的最小值 解:設長,寬分別為a,b,則a*b=p 因為a+b≥2√(ab),所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周長最小值為4√p 例三 長方形的周長為p,求面積的最大值 解:設長,寬分別為a,b,則2(a+b)=p 因為a+b=p/2≥2√(ab),所以ab≤p^2/16 面積最大值是p^2/16 編輯本段 其他不等式 琴生不等式 (具有凹凸性) 絕對值不等式 權方和不等式 赫爾德不等式 閔可夫斯基不等式 貝努利不等式 柯西不等式 切比雪夫不等式 外森比克不等式 排序不等式 編輯本段 重要不等式 柯西不等式 柯西不等式的一般證法有以下幾種: (1)cauchy不等式的形式化寫法就是:記兩列數分別是ai,bi,則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恆有 f(x) ≥ 0. 用二次函式無實根或只有一個實根的條件,就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。 (2)用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx. 因為cosx小於等於1,所以:a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+...... +an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 這就證明了不等式. 柯西不等式還有很多種,這裡只取兩種較常用的證法. 柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據,我們在教學中應給予極大的重視。 巧拆常數: 例:設a、b、c 為正數且各不相等。 求證:(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c) 分析:∵a 、b 、c 均為正數 ∴為證結論正確只需證:2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 證明:θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等,故等號不能成立 ∴原不等式成立。 像這樣的例子還有很多,詞條裡不再一一列舉,大家可以在參考資料裡找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻. 排序不等式 排序不等式是高中數學競賽大綱要求的基本不等式。 設有兩組數 a 1,a 2,...... a n,b 1,b 2,...... b n 滿足 a 1 ≤ a 2 ≤......≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤......≤ b n 則有 a 1 b n + a 2 b n?1 +......+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +......+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +......+ a n b n 式中t1,t2,......,tn是1,2,......,n的任意一個排列, 當且僅當 a 1 = a 2 =......= a n 或 b 1 = b 2 =......= b n 時成立。 以上排序不等式也可簡記為:反序和≤亂序和≤同序和. 證明時可採用逐步調整法。 例如,證明:其餘不變時,將a 1 b 1 + a 2 b 2 調整為a 1 b 2 + a 2 b 1 ,值變小,只需作差證明(a 1 -a 2)*(b 1 -b 2)≥0,這由題知成立。 依次類推,根據逐步調整法,排序不等式得證。 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式有兩個 (1)設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn 那麼,∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi) (2)設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn 那麼,∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi) 琴生不等式 設f(x)為上凸函式,則f[(x1+x2+......+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+......+f(xn)]/n,稱為琴生不等式(冪平均)。 加權形式為: f[(a1x1+a2x2+......+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+......+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,......,n),且a1+a2+......+an=1.從圖中直觀地證明e1f1≥e2f2≥e3f3≥e4f4,當a=b時取等號。 冪平均不等式 冪平均不等式:ai>0(1≤i≤n),且α>;β,則有(∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立 iff a1=a2=a3=......=an 時取等號 加權的形式: 設ai>0,pi>0(1≤i≤n),且α>;β,則有 (∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β iff a1=a2=a3=......=an, p1=p2=p3=......=pn 時取等號。 特例:- 調和平均(-1次冪), - 幾何平均(0次冪), - 算術平均(1次冪), , - 二次平均(2次 在用均值不等式求函式的最值,是值得重視的一種方法,但在具體求解時內,應注意考容查下列三個條件 1 函式的解析式中,各項均為正數 2 函式的解析式中,含變數的各項的和或積必須有一個為定值 3 函式的解析式中,含變數的各項均相等,取得最值即用均值不等式求某些函式的最值時,應具備三個條件 一正二定三取等。... 1 對實數 a,b，有a 2 b 2 2ab 當且僅當a b時取 號 a 2 b 2 0 2ab 2 對非負實數a,b，有a b 2 a b 0，即 a b 2 a b 0 3 對負實數a,b，有a b 0 2 a b 4 對實數a,b，有a a b b a b 5 對非負數a,b，有a 2 b 2... 小同學不想擔心，均值不等式常考的內容的算最值，這個可以通過取特殊值採用排除法來進行 注意輪換對稱不等式一般都是在相等時取得最值，知道這點就足夠了。當然你學有幾天，也可找些題來做 記住四個關係式 a 2 b 2 2 a b 2 ab 2 1 a 1 b 三個要求 一正，二定，三相等 一個方法，湊係數，...均值不等式應注意的條件是什麼,均值不等式是什麼
均值不等式的常用公式均值不等式的公式！
高中數學均值不等式高中數學均值不等式部分的公式