1樓：欒振庭
前n項和公式 s(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或s(n)=n*(a(1)+a(n))/2 n是正整數
推論 一.從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函式(d≠0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，s(n)是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0，a1≠0)，且常數項為0。
二. 從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1)，(類似：
p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈
三.若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，s(2n-1)=(2n-1)*a(n)，s(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，s(k)，s(2k)-s(k)，s(3k)-s(2k)，…，s(n)*k-s(n-1)*k…或等差數列，等等。
若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)
(對3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q))
四.其他推論 ① 和＝（首項＋末項）×項數÷2 (證明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2 (p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n)) 項數＝（末項-首項）÷公差＋1 (證明：
(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
② 首項=2和÷項數-末項
③ 末項=2和÷項數-首項 (以上2項為第一個推論的轉換)
④ 末項=首項+（項數-1）×公差 (上一項為第二個推論的轉換) 推論3證明 若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，則有若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p) +a(q) 如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d =2*a(1)+(m+n-2)*d 同理得， a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d 又因為 m+n=p+q ; a(1),d均為常數 所以 若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q) 注：1.常數列不一定成立 2.
m,p,q,n大於等於自然數
⑴數列為等差數列的充要條件是：數列的前n項和s 可以寫成s = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數)．
⑵在等差數列中，當項數為2n (n n )時，s －s = nd， = ；當項數為(2n－1) (n )時，s －s = a ， = ．
⑶若數列為等差數列，則s n，s2n －sn ，s3n －s 2n，…仍然成等差數列，公差為k^2d ．
⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是s 、t (n為奇數)，則 = ．
⑸在等差數列中，s = a，s = b (n＞m)，則s = (a－b)．
⑹等差數列中， 是n的一次函式，且點（n， ）均在直線y = x + (a － )上．
⑺記等差數列的前n項和為s ．①若a ＞0，公差d＜0，則當a ≥0且a ≤0時，s 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，則當a ≤0且a ≥0時，s 最小．
2樓：匿名使用者
從第二項起每一項與前一項的差等於同一個常數，這樣的數列為等差數列。公式為an=a1+(n-1)d
這樣的數列前n項和為其中幾項之和，公式為sn=1/2(n+1)nd
等差數列性質
3樓：不是苦瓜是什麼
若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq
sm-1=(2n-1)an，s2n+1=(2n+1)an+1sk，s2k-sk，s3k-s2k，…，snk-s(n-1)k…或等差數列，等等.
和＝（首項＋末項）*項數÷2
項數＝（末項-首項）÷公差＋1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
項數=(末項－首項）/公差＋1
等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列，常用a、p表示。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。通項公式為：
an=a1+(n-1)*d。首項a1=1，公差d=2。前n項和公式為：
sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均屬於正整數。
4樓：匿名使用者
如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
等差數列的通項公式為：
an=a1+(n-1)d (1)
前n項和公式為：
sn=na1+n(n-1)d/2或sn=n(a1+an)/2(2)
從(1)式可以看出，an是n的一次數函(d≠0)或常數函式(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，sn是n的二次函式(d≠0)或一次函式(d=0，a1≠0)，且常數項為0。
在等差數列中，等差中項：一般設為ar，am+an=2ar,所以ar為am，an的等差中項。
且任意兩項am，an的關係為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈
若m，n，p，q∈n*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
sm-1=(2n-1)an，s2n+1=(2n+1)an+1
sk，s2k-sk，s3k-s2k，…，snk-s(n-1)k…或等差數列，等等。
和＝（首項＋末項）*項數÷2
項數＝（末項-首項）÷公差＋1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
項數=(末項－首項）/公差＋1
等差數列的應用：
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別
時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，長安等差數列進行分級。
若為等差數列，且有ap=q,aq=p.則a(p+q)＝－（p+q)。
若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。
5樓：匿名使用者
⑴公差為d的等差數列，各
項同加一數所得數列仍是等差數列，
其公差仍為d．
⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd．
⑶若、為等差數列，則與(k、b為非零常數)也是等差數列．
⑷對任何m、n，在等差數列中有：a=a+(n－m)d，特別地，當m=1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l+k+p+…=m+n+r+…（兩邊的自然數個數相等），那麼當為等差數列時，有：a+a+a+…=a+a+a+…．
⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd(k為取出項數之差)．
⑺如果是等差數列，公差為d，那麼，a，a，…，a、a也是等差數列，其公差為－d；在等差數列中，a－a=a－a=md．(其中m、k、)
⑻在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項．
⑼當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等於一個常數．⑽設a1，a2，a3為等差數列中的三項，且a1與a2，a2與a3的項距差之比=d（d≠－1），則2a2=a1+a3．
⑴如果數列是公比為q的等比數列，那麼，它的前n項和公式是s=也就是說，公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函式的一系列函式值，分段的界限是在q=1處．因此，使用等比數列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1，如果q可能等於1，則需分q=1和q≠1進行討論．
⑵當已知a，q，n時，用公式s=；當已知a，q，a時，用公式s=．⑶若s是以q為公比的等比數列，則有s=s＋qs．⑵
⑷若數列為等比數列，則s，s－s，s－s，…仍然成等比數列．
⑸若項數為3n的等比數列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為s與t，次n項和與次n項積分別為s與t，最後n項和與n項積分別為s與t，則s，s，s成等比數列，t，t，t亦成等比數列
6樓：夜裡牽牛
s9-s6=s6-s3 它們等差
7樓：鼕鼕的雪
1：本來有求和公式sn=n（a1+an）/2 你把n換成2n-1 則有s（2n-1）=(2n-1)(a1+a(2n-1))/2
由於a1+a(2n-1)=a1+a1+(2n-1-1)d=2(a1+(n-1-1)d)=2a(n-1)
所以 就有s（2n-1）=（2n-1）an
2：這個也同理你可以把奇數項和偶數項分別求和出來再相減就是了：
若n是偶數則有： s偶=(n/2x(a2+an))/2=(n(a2+an))/4 (去半個數變為了n/2)
s奇=(n/2x(a1+a(n-1)))/2=(n(a1+a(n-1)))/4
相減有s偶-s奇=n/4x(d+d)=1/2 nd
若n是奇數是同理 s偶=((n-1)/2x(a2+a(n-1)))/2=((n-1)(a2+a(n-1)))/4=(n-1)x(a1+an)/4
s奇=((n+1)/2x(a1+a(n-1)))/2=((n+1)(a1+an))/4
相減有s奇-s偶=2x(a1+an)/4=(a1+an)/2=中間項 （這裡不明白我可以在具體點）
3：其實所有問題你不要急於得出結論，你都要從問題的命題出發，在結合自己掌握的基本公式和定理一推就出來了 高中東西很簡單的
證明如下：題目說某數列的前n項和的公式是常數項不為0的二次函式，那麼我們就可以假設
sn=an^2+bn+c 常數項不為0的二次函式 則有：a和c不能為0
我們可以得到an=sn-s(n-1)=a(2n-1)+b 這裡n不能等於1必須大於1，因為n-1要大於等1
即n從2開始取，這顯然是個等差數列公式因為a(n+1)-an=2a a是不等於0的 而且n要大於等於2
那麼當n=1時有a1=s1=a+b+c 你可以把a1和an （n大於2比較下 a1確實不是他們中一個等差項） 我們仔細點可以注意到如果當c=0是那麼a1就是等差數列中的一項了，這就是題目為什麼說常數項不能為0的原因了。樓主可以自己平時多注意分析下 好多東西在於發現，有條理
等差數列 例題，高階等差數列的例題精講
把首項和公差設出來 解個二元一次方程組就行了設首項為a1 公差為d 則 1 a1 a1 d a1 2d 2 9 a1 a1 d 2 a1 a1 d a1 2d a1 3d 4 a1 a1 d 聯立求解 得 a1 d 這個自己算 解不來這個方程的話 我 然後 an a1 n 1 d 算出來帶進去就是通...
等差數列2道題，等差數列2道題
第一題選b，過程如下 根據等差數列的性質 必須掌握的 sn，s 2n sn,s 3n s 2n 同樣也成等比，則而且，公差等於nd，那麼 s10 s5 s15 s10，直接代入可以得到s15 44 第二題選d，過程如下 有題目已知 a2 a5 a8 a1 a4 a7 3d,這個可以很容易得到，即d ...
已知an為等差數列,且a2 8,若等差數列bn滿足b1 8,b2 a1 a2 a3,求bn
解 b2 a1 a2 a3 3a2 24d b2 b1 16 bn 8 16n tn 8 n 16 1 2 n 8n 16n n 1 2 8n 8n n 1 8n 如仍有疑惑，歡迎追問。祝 學習進步！因為為等差數列，a2 8，所以a1 a2 a3 3a2所以b2 a1 a2 a3 3a2 24因為 ...