1樓：丫丫
格林公式是使用在解平面曲線積分上的,不是使用在解曲面積分。所以什麼時候在解曲面積分時都不可以使用格林公式。
格林公式是一個數學公式，它描述了平面上沿閉曲線l對座標的曲線積分與曲線l所圍成閉區域d上的二重積分之間的密切關係，一般用於二元函式的全微分求積。
曲面積分：定義在曲面上的函式或向量值函式關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。
2樓：幽靈
格林公式使用在平面曲線積分上吶,不是曲面積分使用條件
區域d為有界閉區域
p(x,y),q(x,y)一階偏導連續
積分路徑l為正向區域邊界
注意事項
當 1)l不閉合 2)p,q在d中有一階偏導不連續點 時需新增輔助曲線
當l為負向區域邊界時,注意新增負號
還有不懂請hi我
3樓：匿名使用者
求解平面曲線積分，滿足一定條件時可以使用格林公式。
1. 曲線閉合，或者補成閉合曲線，所補的曲線段上的曲線積分容易計算；
2. qx' - py' 在閉合曲線所圍的平面區域上的二重積分也是易於計算的；
3. 注意曲線的方向。
4樓：quartz黃琦
我們在用格林公式時
規定了正反方向，二
重積分是在你規定了
正反方向的前提下計
算的，預設逆時針為
正，如果你選順時針
則二重積分前面是要
加負號的。
在用格林公式算曲線積分時什麼時候可以直接得0？ 還有，是否所有的對座標的曲線積分都可以用格林公式做？
5樓：匿名使用者
當曲線l圍成的區域為閉區域時，就可以運用格林公式。
格林公式的值不一定是零，但是當∂p/∂y = ∂q/∂x時，曲線積分的結果與路徑無關
那麼二重積分的值就是零。
其實三題都是用格林公式，二重積分值都是零。
只是第(2)題的曲線本身能圍成閉區域，而第(3)(4)題需要新增直線才能圍成閉區域。
第(2)題的曲線是星形線，是個合區域，所以可直接用格林公式。
∮l pdx + qdy = ± ∫∫d [ ∂q/∂x - ∂p/∂y ] dxdy = 0
第(3)題只是一個弧線，不能圍成合區域，所以要使用格林公式
要新增線段y = 0和x = π/2，所以這三條曲線使區域閉合
並且取正向(逆時針)時，格林公式取 + 號，負向(順時針)時，格林公式取 - 號
然後用格林公式的二重積分結果減掉該兩條直線的曲線積分，就得原式的結果。
曲線l：x = (π/2)y²，(x，y)：(0，0) → (π/2，1)，順時針
新增l1：y = 0，dy = 0，x：π/2 → 0，順時針
新增l2：x = π/2，dx = 0，y：1 → 0，順時針
∮(l+l1+l2) pdx + qdy = - ∫∫d [ ∂q/∂x - ∂p/∂y ] dxdy = 0
∫l1 pdx + qdy = ∫(π/2，0) 0 dx = 0
∫l2 pdx + qdy = ∫(1→0) [ 1 - 2y + 3(π/2)²y² ] dy = - π²/4
既然三個線段圍成閉區域，它們的積分也同樣道理：
l+l1+l2 = 閉曲線(l+l1+l2)
∫l + ∫l1 + ∫l2 = ∮(l+l1+l2)
∫l = ∮(l+l1+l2) - ∫l1 - ∫l2
即∫l pdx + qdy = 0 - 0 - (- π²/4) = π²/4
第(4)題跟第(3)題同樣原理，1/4個圓弧不足以圍成閉區域，於是新增線段y = 0和x = 1
那麼就可以應用格林公式了。
曲線l：y = √(2x - x²)，(x，y)：(0，0) → (1，1)，順時針
直線l1：y = 0，dy = 0，x：1 → 0，順時針
直線l2：x = 1，dx = 0，y：1 → 0，順時針
∮(l+l1+l2) pdx + qdy = - ∫∫d [ ∂q/∂x - ∂p/∂y ] dxdy = 0
∫l1 pdx + qdy = ∫(1→0) x² dx = - 1/3
∫l2 pdx + qdy = ∫(1→0) - (1 + sin²y) dy = 3/2 - (1/4)sin(2)
∫l + ∫l1 + ∫l2 = ∮(l+l1+l2)
∫l = 0 - (- 1/3) - [3/2 - (1/4)sin(2)] = - 7/6 + (1/4)sin(2)
我這個方法跟你書上那個的道理是一樣的。
∫l(順時針) + ∫l1(順時針) + ∫l2(順時針) = - ∮(l+l1+l2)(順時針) = 0
∫l(順時針) = 0 - ∫l1(順時針) - ∫l2(順時針)
∫l(順時針) = ∫l1(逆時針) + ∫l2(逆時針)
通常都選擇用直線跟l繞成閉區域，因為直線的導數能簡單求出，容易簡化。
另外，若被積函式上有奇點，就得繞開奇點部分，挖一個足夠小的圓形或橢圓形，然後用格林公式減掉該部分的積分。
用格林公式求原函式時曲線如果是逆時針的，有向左的曲線那麼積分割槽間是不是從大到小寫，就是逆著寫？
6樓：匿名使用者
你這個問題問的就有毛病。
首先1：格林公式是定積分公式，所以不能計算原函式。版
其次2：格林公式必須是權針對閉合曲線求積分的，既然是閉合的，只有順時針還是逆時針。
我給你解惑一下，你看看是不是想知道下面這個：
格林公式可以將閉合的曲線積分轉化成面積分進行求解，且規定閉合曲線的方向為逆時針為正方向。當然可能出現以下兩種情況：
曲線順時針：這時候只要在變換的時候在積分最前面加上負號就行了。
曲線不閉合：這樣需要補齊一段曲線積分使曲線閉合，然後將這段曲線積分減去。
比如一個半圓，方向從左往右，這樣需要加一條從右往左的直線，將積分曲線補齊，然後再減去這條從右往左的曲線。
這樣就把原來的半圓曲線積分轉化成了一個順時針方向的閉合曲線積分和一個從右往左的直線積分的差值。
那麼對於順時針的閉合曲線積分而言，可以利用格林公式轉化成曲面積分，前面注意加上負號；對於從右往左的直線積分，積分下限就是直線起點的值，上限就是直線終點對應的值。
請教高人講解曲線積分和曲面積分（第一類第二類都要）
7樓：匿名使用者
哥們給你都說了吧：
第一類曲線積分，可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關係，只有通過轉化為第二類曲線積分後，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉化為簡單的曲面積分，再將曲面積分投影到座標面上轉化為二重積分來計算，這是第一類曲線積分和二重積分關係，但是第一類曲線積分和三重積分麼有任何關係……
第一類曲面積分，可以通過公式變換，將ds轉化為dxdy，直接轉化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關係，只有通過轉化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz座標上進行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz座標進行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關係，因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個量之間可以代換的，這個普通的定積分和二重積分不能這麼做的……
第一類曲線積分：對線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠小於上限……求解時米有第二類曲線積分簡單，需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進行積分，這個公式書裡面有的，就是對引數求導，然後再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分：對座標的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關係：可以用餘弦進行代換，餘弦值指的是線段的切向量，這個書本里面的，我就不寫了
第一類曲面積分：對面積的曲面積分，求解時要通過給定的曲面方程形式，轉化成x與y的形式，這個公式書裡面也有的，就是求偏導吧？然後表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分：對座標的曲線積分，這個簡單一些，好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯絡：可以用餘弦代換，但是這個餘弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯絡，方便你記憶：都是要轉化成在xyz座標面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對引數求導，第一類曲面積分是求偏導，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當於正方體求對角線，你想想是不是，肯定要出現平方和的根式，你好好看看推導過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關係：
第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的，你要學會對應的記憶啊……
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉化為二重積分來做，但是要注意正方向的選取，以及平面單連通和平面復連通，有時需要取輔助線構成封閉曲線的，但是要計算輔助曲線的曲線積分，因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加後產生的，這個很重要，因為積分與路徑無關都要涉及到平面復連通和單連通的計算……
關於重積分和曲線曲面積分的區別 我有的時候分不清一個積分是曲線還是曲面積分怎麼辦。。求大神講解～最
8樓：匿名使用者
都是遞進關係，從一重積分開始，只說幾何意義吧。
一重積分(定積分)：只有一個自變數y = f(x)
當被積函式為1時，就是直線的長度(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時，就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外，定積分也可以求規則的旋轉體體積，分別是
盤旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圓殼法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法，極座標法等，定積分接觸得多，不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分：有兩個自變數z = f(x，y)
當被積函式為1時，就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時，就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換：
則∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
= ± ∫∫_(d) dxdy
取上/右/前 側時，取 + 號
取下/左/後 側時，取 - 號
3：高斯公式
∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
= ± ∫∫∫_(ω) (∂p/∂x+∂q/∂y+∂r/∂z) dxdydz
- ∫_(σ和) pdydz+qdzdx+rdxdy
後面(σ和)那部分，若原本給的曲面是不能圍成封閉空間的話，不能直接使用高斯公式，需要補上幾個面後使得區域封閉，例如補上若干個(σ和)曲面，就可以運用高斯公式了，還要注意最後要減少所補上那幾個曲面(σ和)相應的積分
4：挖洞
若在σ上，被積函式上有奇點的話，也不能直接運用高斯公式
需要補上一個小空間r=ε，足以包括所有內部的奇點的，然後取半徑ε趨向0
運用高斯公式時也要減去這個部分相應的積分
所以有∫∫_(σ) = ± ∫∫∫_(ω) - ∫∫_(ε)
5：替代
若被積函式f的方程是在σ上，則可以優先把σ的方程代入f中
例如給σ方程：x²+y²+z²=a²
則∫∫_(σ) (pdydz+qdzdx+rdxdy)/√(x²+y²+z²)
= ∫∫_(σ) (pdydz+qdzdx+rdxdy)/a
= (1/a)∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
於是這樣，就可以避免了4：的情況，不用挖洞
去掉奇點後就可以繼續補面使用高斯公式了
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