1樓：匿名使用者
證明：任意函式
f(x)，構造兩個函式，g(x)，h(x)
其中：g(x)=(f(x)-f(-x))/2 h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由於：g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x) h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)為奇函式，h(x)為偶函式。
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
所以得證: 任意一個奇函式g(x)總可以表示成一個奇函式g(x)與一個偶函式h(x)之和。
即：任意一個奇函式總可以表示成一個奇函式與一個偶函式之和。
擴充套件資料
例：以下說法正確的是（）。
①定義在r上的任一函式，總可以表示成一個奇函式與一個偶函式的和；
②若f（3）=f（-3），則函式f（x）不是奇函式；
③對應法則和值域相同的兩個函式的定義域也相同；
④若x1是函式f（x）的零點，且m＜x1＜n，那麼f（m）•f（n）＜0一定成立。
分析：①設f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函式，h（x）為偶函式，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
兩式聯立得，g（x）=f(x)-f(-x))/2，h(x)=(f(x)+f(-x))/2 ，所以①正確。
②若函式f（x）是奇函式，則有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），則必有f（3）=f（-3）=0，所以當f（3）=f（-3）=0，函式有可能是奇函式，所以②錯誤。
③當函式的定義域和對應法則相同時，函式的值域相同，但值域相同時，定義域不一定相同，比如函式f（x）=x2，當定義域為[0，1]時，值域為[0，1]，當定義域為[-1，1]時，值域為[0，1]，所以③錯誤。
④若x1是函式f（x）的零點，則根據根的存在性定理可知，f（m）•f（n）＜0不一定成立，比如函式f（x）=x2的零點是0，但f（m）•f（n）＞0，所以④錯誤。
故答案為：①
2樓：匿名使用者
設這個奇函式為f（x），則f（x）=（f（x）+f（-x）-f（-x）+f（x））/2
=（f（x）+f（-x））/2+（f（x）-f（-x））/2
根據定義知前者為偶函式後者為奇函式
為何任意一個函式都可以寫成一個奇函式和一個偶函式之和? 5
3樓：不是苦瓜是什麼
因為函式f（x）一定可以分解為奇函式和偶函式之和。其實可以直接從構造出的兩個函式來證明就行了。 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
設函式y=f（x）
令f（x）=[f（x）+f（-x）]/2,則f（-x）=[f（-x）+f（x）]/2=f（x）
於是f（x）為偶函式
令g（x）=[f（x）-f（-x）]/2,則g（-x）=[f（-x）-f（x）]/2=-g（x）
則g（x）為奇函式
f（x）+g（x）=[f（x）+f（-x）]/2+）[f（x）-f（-x）]/2
=f（x）
於是任意f（x）可表示為偶函式f（x）=[f（x）+f（-x）]/2與奇函式g（x）=[f（x）-f（-x）]/2的和
所以，任意一個函式都可以寫成一個奇函式和一個偶函式之和。
函式的奇偶性也就是對任意xel，若f(-x)=f(x)，即在關於y軸的對稱點的函式值相等，則f(x)稱為偶函式;若f(-x)= - f(x)，即對稱點的函式值正負相反，則f(x)稱為奇函式。
在平面直角座標系中，偶函式的圖象對稱於y軸，奇函式的圖象對稱於原點.可導的奇(偶)函式的導函式的奇偶性與原來函式相反。定義在對稱區間(或點集)上的任何函式f(x)都可以表示成奇函式φ( x)和偶函式ψ(x)之和。
4樓：
對任何一個函式f(x),都可以寫成f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)是奇函式,h(x)是偶函式
為了證明這一點,我們並不是從一個奇函式和一個偶函式的和如何構成任意函式
而是通過證明任意函式都能分解成g(x)+h(x)來得證得.
正規的證明如下:
證明:先假設f(x) = g(x) + h(x)是存在的,設為1式則f(-x) = g(-x) + h(-x),設為2式奇函式性質:g(x)=-g(-x)
偶函式性質:h(x)=h(-x)
那麼分別拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我們得出結論,對任意的f(x),我們能夠構造這麼兩個函式g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函式h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函式且g(x)+h(x)=f(x)
證畢.通過這個證明還能夠得到如何分解成奇函式和偶函式的方法
5樓：哿桉
這個證明基於假設的基礎上，怎麼可能對
證明：任何一個函式都可以表示為一個奇函式和一個偶函式之和
6樓：桃兒wj9燭
證明：若f（x）為定義在（-n，n）上的任意函式，則設g（x）=f(x)+f(?x)2，
h（x）=f(x)?f(?x)2；
易驗證g（x）=g（-x），
-h（x）=h（-x），
所以g（x）為偶函式，h（x）為奇函式．
而f（x）=g（x）+h（x），
所以得證．
7樓：yechunhong葉子
不是任何一個函式都可以，定義域要關於原點對稱
求證：定義域為r的任意函式都可以表示成一個奇函式和一個偶函式之和
8樓：淚笑
證明：bai假設定義域為r的函式duf（x)可以表zhi示成一個奇函式daog(x)和一個偶函式h(x)的和∴∴f(x)=g(x)+h(x).............①f(-x)=g(-x)+h(-x)
又專g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)∴f(-x)=-g(x)+h(x).........②由①②知,h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
檢驗：屬h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)g(x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(-x)∴定義域為r的函式f（x)都可以表示成一個奇函式g(x)和一個偶函式h(x)的和
,且h(x)=[f(x)+f(-x)]/2,g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
9樓：手機使用者
題目應復該有問題，一個
制偶函式和一個奇函式乘積還是一bai個奇函du數，而f(x)是任意一個函zhi數，它可以dao為奇函式也可以為偶函式，因此有錯誤。
如果改為表示成一個偶函式和一個奇函式的和的形式，則可以表示如下：
f(x)=(f(x)-f(-x))/2+(f(x)+f(-x))/2;
其中(f(x)-f(-x))/2是奇函式，(f(x)+f(-x))/2為偶函式。
請採納答案，支援我一下。
(1) 定義域為 的任意函式 都可以表示成一個奇函式和一個偶函式的和,怎麼證
10樓：匿名使用者
證明：設任複意一函式
制f(x),
則，有f(x)=(1/2)[f(x)-(f-x)]+(1/2)[f(x)+f(-x)]
設g(x)=(1/2)[f(x)-(f-x)],h(x)=(1/2)[f(x)+f(-x)]
則f(x)=g(x)+h(x)
下面證明g(x)是奇函bai數，h(x)是偶du函式
①zhig(-x)=(1/2)[f(-x)-f(x)]=-(1/2)[f(x)-(f-x)]=-g(x)
即：daog(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函式②h(-x)=(1/2)[f(-x)+f(x)]=h(x)即：h(-x)=h(x),所以h(x)是偶函式綜上：
定義為r的任意函式都可以表示成一個奇函式和一個偶函式的和
證明任意一個函式都可拆分成一個偶函式和一個奇函式的和
11樓：皮皮鬼
對任何一個函式f(x),都可以寫成f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)是奇函式,h(x)是偶函式
為了證明這一點,我們並不是從一個奇函式和一個偶函式的和如何構成任意函式
而是通過證明任意函式都能分解成g(x)+h(x)來得證得.
正規的證明如下:
證明:先假設f(x) = g(x) + h(x)是存在的,設為1式則f(-x) = g(-x) + h(-x),設為2式奇函式性質:g(x)=-g(-x)
偶函式性質:h(x)=h(-x)
那麼分別拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我們得出結論,對任意的f(x),我們能夠構造這麼兩個函式g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函式h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函式
證明定義在r上的任意函式都可以表示成一個奇函式和一個偶函式的和.
12樓：
設f(x)=g(x)+h(x)①,g(x)為奇函copy數，h(x)為偶函式。
則有f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)②解①②組成的
方程組：
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2。
13樓：
任意函式copyf(x),構造兩個bai函式,g(x),h(x)其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由於g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)所以du
zhig(x)為奇函式,h(x)為偶函式
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。dao
證明任意一個函式都可以由一個奇函式和一個偶函式組成
14樓：匿名使用者
設函式y=f（
x）令f（x）=[f（x）+f（-x）]/2，則f（-x）=[f（-x）+f（x）]/2=f（x）
於是f（x）為偶函式
令g（x）=[f（x）-f（-x）]/2，則g（-x）=[f（-x）-f（x）]/2=-g（x）
則g（x）為奇函式
f（x）+g（x）=[f（x）+f（-x）]/2+）[f（x）-f（-x）]/2
=f（x）
於是任意f（x）可表示為偶函式f（x）=[f（x）+f（-x）]/2與奇函式g（x）=[f（x）-f（-x）]/2的和
f定義域r奇函式可導對任意正實數滿足
f是奇函式 抄,則g也是奇函式bai,只需考慮x 0的情況。du對於任意正實數xf x 2f x 2邊乘x,符號zhi不變,而且正好是g的導數,且大於dao0,說明x 0,g單調增,由於g是奇函式,在r上也單調增。所以x 1 3x,x 1 4 已知函式f x 對定義域r內的任意x都有f x f 4 ...
證明 定義在對稱區間 l,l 上的任意函式可以表示為奇函式和偶函式的和
嗯?怎麼bai 還是你啊.呵呵 證明du 設所定義的函zhi數是 f x 是一個任意函式,在 1,1 是連續的dao.那麼 有以下回表示式 設答 f1 x 1 2 f x f x f2 x 1 2 f x f x 則有 f x 1 2 f x f x 1 2 f x f x f1 x f2 x 很明...
f x 是定義在（付無窮，正無窮）上的可導的奇函式，且滿足xf x 0，f 1 0，則不等式f x 0的解為多少
題目本身的 xf x 0 就是不容許 x 0 和f x 是奇函式兩個條件同是存在。奇函式是對原點對稱的，但當 x 0 時,f x 0 而x 0 時f x 0 但這是對原點不對稱的。你沒法畫出對原點對稱的x 0是 減函式，而x 0 時是增函式的影象。那就是說，奇函式和xf x 0這兩個條件是不能共存的...