求微分方程的通解

2022-12-05 10:46:08 字數 913 閱讀 5785

1樓:

y"-3y'+2y=0的特徵方程為r^2-3r+2=0,

得r=1,2

設特解為y*=axe^(2x)

則y*'=a(1+2x)e^(2x)

y*"=a(4+4x)e^(2x)

代入方程: a(4+4x)-3a(1+2x)+2ax=3

4a+4ax-3a-6ax+2ax=3

得a=3

所以通解為y=c1e^x+c2e^(2x)+3xe^(2x)

y"-3y'+2y=3xe^x

設特解為y*=x(ax+b)e^x

則y*'=(ax^2+bx+2ax+b)e^x

y*"=(ax^2+bx+4ax+2b+2a)e^x

代入方程: (ax^2+bx+4ax+2b+2a)-3(ax^2+bx+2ax+b)+2(ax^2+bx)=3x

-2ax+2a-b=3x

比較係數得:-2a=3, 2a-b=0

解得:a=-1.5, b=-3

所以通解為y=c1e^x+c2e^(2x)+x(-1.5x-3)e^x

y"+2y=8sin2x的特徵方程為r^2+2=0, 得:r=i√ 2, -i√2

設y*=acos2x+bsin2x

則y*'=-2asin2x+2bcos2x

y*"=-4acos2x-4bsin2x

代入方程: -4acos2x-4bsin2x+2acos2x+2bsin2x=8sin2x

即:-2bsin2x-2acos2x=8sin2x

得:-2b=8, -2a=0

得b=-4, a=0

所以通解為y=c1cos(√2x)+c2sin(√2x)-4sin2x

2樓:匿名使用者

第一題,y=c1e^x+c2e^2x+3xe^2x

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