n個連續整數的乘積一定能被n 整除

2021-07-22 22:56:39 字數 2948 閱讀 5809

1樓:幽水寒靈

設a為任一整數,則式:

(a+1)(a+2)...(a+n)

=(a+n)!/a!

=n!*[(a+n)!/(a!n!)]

而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰為c(a+n,a),也即是從a+n中取出a的組合數,當然為整數。

所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除

2樓:

n!=1*2*3*4*……*n(高3你會學到的。)

這樣:n個連續整數的乘積一定能被n!整除 啊

3樓:

證明:利用組合公式c(n+1,k)=c(n,k)+c(n,k-1)下面證明k個連續整數乘積n(n-1)(n-2)……(n-k+1)能被k!整除,這等價於證明

c(n,k)是整數

對n(n>=k)用第二數學歸納法

n=k時,k(k-1)……2*1=k!顯然能被k!整除假設n<=k時命題成立,因而c(n,k)=n(n-1)……(n-k+1)/k是整數,

同理c(n,k-1)也是整數,所以c(n+1,k)=c(n,k)+c(n,k-1)也是整數

綜上,對一切n>=k都有k!整除n(n-1)……(n-k+1)

4樓:狒嘎

n*(n+1)(n+2)(n+3)...../n=(n+1)(n+2)(n+3)....

為什麼連續n個正整數相乘,積能被n,整除

5樓:匿名使用者

可以藉助組合數公式說明.

從m個不同元素中取n個元素組合,記c(m,n)中不同方法,其中m≥版n,且都為正整權數.c(m,n)為正整數.

c(m,n)=p(m,n)/n!

其中p(m,n)表示從m個不同元素中取n個元素進行排列的不同種數,就是n個連續正數的積,

即n個正整數相乘,積能被n!整除.

如何證明n個連續整數的乘積 能被n,整除

6樓:匿名使用者

設n為大於0的整數,則有:n!=n(n-1)(n-2)x......

x3x2x1,由此可得:n!/n=n(n-1)(n-2)x......

x3x2x1/n=(n-1)(n-2)x......x3x2x1,而(n-1)(n-2)x......x3x2x1/n=(n-1)(n-2)x......

x3x2x1是連續整數的乘積,因此該乘積必然專是整數,這就證屬明瞭n個連續整數的乘積能被n整除。

7樓:匿名使用者

m大於n時組合數c(m,n)=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)/n!是整數,

∴命題成立。

怎樣證明連續n個數的積能被n,整除

8樓:小樂笑了

設這個n個連續整數來

,分自別是

k+1,k+2,...,k+n

則k+1≡ t (mod n)

k+2≡ t+1(mod n)

...k+n≡ t+n-1 (mod n)由於模bain剩餘類du中,zhi只有n個等價dao類(即餘數只能是0,1,2。。。n-1這n種情況)

因此t ,t+1,t+2, ... ,t+n-1 必有1個滿足 = 0(mod n)

即k+1,k+2,...,k+n,中必有1個能被n整除因此,n|(k+1)(k+2)...(k+n)

n個連續正整數之積一定能被n!整除(不用組合數公式)

9樓:匿名使用者

根據抽屜原理,連續

n個數中,必有且僅有1個數能

被n整除,即

連續2個數中,回必有1個數能被2整除、答

連續3個數中,必有1個數能被3整除、

……因連續的n個數,對被n除的餘數,有且必有從0到n-1這n種。

按此推論,連續n個數中,必存在數字能被2、3、……、n-1、n整除。即

連續3個數中,必有一些數能被2、3整除、

連續4個數中,必有一些數能被2、3、4整除、……綜上,連續n個數,必含有因數1、2、3、……、n,即n個連續正整數之積一定能被n!整除

10樓:玩暈去

什麼意思呀 補充說明一下啦

證明:對於任意連續n個自然數,它們的乘積一定能被n!整除。

11樓:匿名使用者

對於所bai有的自然數,可以劃分為du2類,分別是被

zhi2除餘0的和被dao2除餘1的,

專即通常說的偶屬數和奇數,而相鄰的兩個數,必為1奇1偶,分別屬於這兩類。換言之,相鄰的兩個數必有1個被2除餘0,也就是能被2整除,是2的倍數。因此這2個數的積一定能被2整除。

類似的,對於所有的自然數,可以劃分為k類(其中k是正整數),分別是被k除餘0的、餘1的......餘(k-1)的,而相鄰的k個數,一定分別屬於這k類,所以,相鄰的k個自然數中必有1個數是k的倍數,因而相鄰k個自然數的乘積一定能被k整除。

12樓:匿名使用者

n*(n+1)*(n+2)。。。。

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nn跟n一約就是整除了

如何證明 n個連續整數之積必能被n,整除

13樓:小樂笑了

設這個n個連續整數,分別是

k+1,k+2,...,k+n

則k+1≡ t (mod n)

k+2≡ t+1(mod n)

...k+n≡ t+n-1 (mod n)由於模n剩餘類中,只有回n個等價類(即餘數只能是答0,1,2。。。n-1這n種情況)

因此t ,t+1,t+2, ... ,t+n-1 必有1個滿足 = 0(mod n)

即k+1,k+2,...,k+n,中必有1個能被n整除因此,n|(k+1)(k+2)...(k+n)

如何證明n個連續整數的乘積 能被n!整除

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