1樓：匿名使用者
一般都需要正交化，正交化後避免了耦合，可以方便的進行下面計算。如果不正交化，隨後計算可能會極其複雜。當然，如果單純的的計算出其幾個特徵向量，可以不正交化
線性代數 由二次型化為標準型,什麼情況需要單位化正交化,什麼時候不用?謝謝!!
2樓：琅琊邢氏
我們以二次型矩陣a的特徵矩陣為基礎，利用正交化法進行變換，思路是正交矩陣（aat=e)的轉置等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系，與其它互異特徵值對應的特徵向量一起構成矩陣，只需對基礎解系施密特正交變換(正交化)，然後對矩陣單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
3樓：逍遙客恨逍遙
看特徵值1）如果求出的特徵值都是單根，則這些特徵值的特徵向量都是彼此正交的（有定理），此時只需分別單位化即可。2）如果求出的特徵值中有重根，則這些特徵值的特徵向量之間不一定正交，此時需進行單位正交化。
特徵向量什麼時候需要單位化
4樓：demon陌
如果題目只是要求求一個矩陣的特徵向量，結果是不需要單位化的。
如果題目是要求求一個可逆陣p，使p^<-1>*a*p成為對角陣，求得的矩陣a的特徵向量也不需要單位化的。
如果a是實對稱矩陣，題目要求求正交矩陣p，使p^t*a*p成為對角陣，則求得的a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交陣p。
在二次型化為標準形的題目裡，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交變換的。
特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特徵向量。線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。
5樓：匿名使用者
^1、如果a是實對稱矩陣，要求求正交矩陣p，使p^t*a*p成為對角陣，則求得的a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交陣p。
2、在二次型化為標準形的題目裡，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣a的特徵向量要先正交化（如果a有重特徵值），再單位化，然後才可以寫出正交變換的。
一個矩陣a的特徵值可以通過求解方程pa(λ) = 0來得到。 若a是一個n×n矩陣，則pa為n次多項式，因而a最多有n個特徵值。
反過來，代數基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內的話。所有奇數次的多項式必有一個實數根，因此對於奇數n，每個實矩陣至少有一個實特徵值。在實矩陣的情形，對於偶數或奇數的n，非實數特徵值成共軛對出現。
擴充套件資料
任意給定一個矩陣a，並不是對所有的x它都能拉長（縮短）。凡是能被a拉長（縮短）的向量稱為a的特徵向量(eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個特徵向量對應的特徵值（eigenvalue）。
值得注意的是，我們說的特徵向量是一類向量，因為任意一個特徵向量隨便乘以一個標量結果肯定也滿足以上方程，當然這兩個向量都可以看成是同一個特徵向量，而且它們也都對應同一個特徵值。
如果特徵值是負數，那說明了矩陣不但把向量拉長（縮短）了，而且讓向量指向了相反的方向。一個矩陣可能可以拉長（縮短）好幾個向量，所以它可能就有好多個特徵值。如果a是實對稱矩陣，那麼那些不同的特徵值對應的特徵向量肯定是互相正交的。
也就是保證座標系的不同軸不要指向同一個方向或可以被別的軸組合而成，否則的話原來的空間就「撐」不起來了。在主成分分析(principal component analysis)中我們通過在拉伸最大的方向設定基，忽略一些小的量，可以極大地壓縮資料而減小失真。
變換矩陣的所有特徵向量作為空間的基之所以重要，是因為在這些方向上變換矩陣可以拉伸向量而不必扭曲和旋轉它，使得計算大為簡單。所以特徵值固然重要，終極目標卻是特徵向量。
6樓：匿名使用者
有時候只要特徵向量，而有時必須單位化，
求助 什麼情況需要單位化什麼時候正交化
7樓：匿名使用者
一般題目給出實對稱矩陣的話，又是讓你對角化，那肯定正交了。一般的矩
回陣進行對角化只需要一個可答逆矩陣而已。如果題目給出了實對稱矩陣，又給出了原矩陣和特徵向量，特徵值的聯絡，那明顯的也不需要正交化，直接反推回去就好了（這個地方要注意）
8樓：匿名使用者
說的差不多了bai.老李的《最後衝刺du超越135分》中，關zhi於二次
型的一章中有總結dao:1.要求版p為正交陣的情況
權,限於二次型,即實對稱矩陣,需要正交化.化為標準型必單位化 普通矩陣對角化所求的p是可逆矩陣即可,不要正交化.是否要單位化需要看題目要求2.
考試中,一般都會有提示的,是否要正交矩陣,還是一般的可逆矩陣
9樓：雪花崛起
當特徵值為重根時，求出的基礎解系中的特徵向量對應位置相乘 然後累加為0 則不需要施密特正交化，否則需要施密特正交化
10樓：匿名使用者
謝謝大傢俱體說 有時要先正交化再單位化 有時直接單位化 怎樣區分
11樓：l極
首先明確，不抄同特徵值對應的特徵向量必正交。然後，以三階為例，重根λ1=λ2，λ3=c，
這時λ1、λ2重根，考慮是否需要施密特正交，如果λ1、λ2對應的特徵向量乘一下，內積為0就不需要施密特了，如果內積不為0則要先將λ1、λ2對應的特徵向量正交化一下，最後三個特徵向量一起單位化。
小結：特徵值有重根需要在單位化之前考慮一下重根特徵值對應的特徵向量是否需要施密特正交化
回到題主所問，這類問題一般出現在讓你求正交矩陣p，使 ptap=∧ 或者 p逆ap=∧ (pt：t是上標，pt即p的轉置矩陣，∧：對角矩陣，p逆：p的逆矩陣)
這時的正交矩陣就需要單位化
從考研角度答的，如有誤，請指正!
12樓：匿名使用者
一般是題目會要求你求正交矩陣，將二次型轉化成標準型
13樓：琅琊邢氏
若以二bai
次型矩陣a的特du徵矩陣為基礎，利用正
zhi交化法進行標準型變換，思dao路是正交矩版陣（aat=e)的轉置權等於逆，利用正交矩陣使a對角化(以特徵值為對角線元素的對角矩陣)。
注意：正交矩陣不同列內積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！
分兩種情況：
二次型矩陣a是實對稱矩陣(必可對角化)，如果其特徵值λ互異，那麼對應特徵向量必正交(對角稱矩陣的性質)，由其構成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；
否則，二次型矩陣a相同特徵值對應的特徵向量，取基礎解系，與其它互異特徵值對應的特徵向量一起構成矩陣，只需對基礎解系施密特正交變換(正交化)，然後對矩陣單位化(勿忘！)。
變換的結果是特徵值λ為係數的標準型。
給我點踩的是什麼鬼？你可以不按我說的去做！
14樓：匿名使用者
我倒，沒正交的你就先正交化，已經正交化了的你就直接單位化。
實對稱矩陣什麼時候要進行施密特正交化？什麼時候需要單位化？什麼時候既不用施密特正交化也不用單位化？
15樓：墨汁諾
不是實對稱bai矩陣需要斯密特正du
交化，是轉化為對角zhi陣的轉dao化矩陣需要斯密特回正交化。斯密特正交化不答是必須的，不過斯密特正交化後的矩陣具有獨特的特點。
實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量一定正交。所以如果把多重特徵值對應的特徵向量正交化後，所有的特徵向量兩兩正交。如果再單位化。
那麼這些不同向量的內積為0，而自己與自己的內積為1。
16樓：匿名使用者
數學上沒規定bai啥時候需要單位
du化、zhi正交化，是否需要時要看dao你具體
版解決的問題的。一般來說權，單位化是不必須的，但是往往可以使結果唯一，而且有時候計算性質比較好；正交化對於分解空間比較有效，如果不懂得話，就當作總是需要單位化和正交化好了
17樓：匿名使用者
對稱矩陣什麼時候要進行施密特正交化？什麼時候需要單位化？什麼時候既不用施密特正交化也不用單位化？
還有一點，是不是一般矩陣永遠不用施密特
求實對稱矩陣本身時 什麼時候需要用施密特正交化和規範化 有的題目直接求出特徵值的特徵向量就求出了 5
18樓：匿名使用者
若涉及二次型, 則需要正交單位化. 這是因為二次型的變換是合同變換,需要正交相似
而單純考慮實對稱矩陣, 就不必正交單位化了此時正交單位化的唯一優勢是 不必求 p^-1, p^-1 = p^t給出的幾個例題都不必正交單位化
矩陣裡頭何時要將特徵向量標準化，正交化，單位化，標準正交化？ 另外，單位化就是標準化嗎？
19樓：angela韓雪倩
一般來講特徵向量是不可以做正交化的，當需求是找一個酉陣p使得p^ap是對角陣時才可以/需要做這些事，單位化就是標準化，也叫歸一化。
如果只是要求p^(-1)ap是對角陣，那麼此時不可以做正交化，單位化做不做無所謂。如果要求酉對角化，那麼當然要先正交化才能再做單位化，先做單位化沒用。
20樓：電燈劍客
一般來講特徵向量是不可以做正交化的
當你的需求是找一個酉陣p使得p^ap是對角陣時才可以/需要做這些事「另外，單位化就是標準化嗎？」
單位化就是標準化，也叫歸一化
特徵值有什麼用矩陣的特徵值和特徵向量在工程應用有什麼作用
1 可以用在研究物理 化學領域的微分方程 連續的或離散的動力系統中。例如，在力學中，慣量的特徵向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵資料 2 被數學生態學家用來 原始森林遭到何種程度的砍伐，會造成貓頭鷹的種群滅亡 3 著名的影象處理中的pca方法，選取特徵值最高的k個特徵向量來表示一...
線性代數特徵值,特徵向量，線性代數，這個特徵值和特徵向量怎麼做？
第一例可得出 1 4 2 2 2 5 4 5 0 第二例可得出 1 6 3 det 0 5 3 0 0 6 4 1 5 3 6 0 3 3 0 5 0 6 4 0 4 0 6 1 5 4 18 6 0 4 3 0 3 0 6 0 5 1 2 5 20 4 18 1 2 2 1 2 2 第三例 3 3...
為什麼不同特徵值的特徵向量線性無關
這個問題你可以作為一道證明題來做 證明不同特徵值對應的特徵向量線型無關。設x1,x2 是a的兩個不同的特徵值 n1,n2分別為其對應的特徵向量。設存在實數k1.k2 使得 k1 n1 k2 n2 0 易證不同特徵值對應的特徵向量線型無關。還可以從特徵值和特徵向量的定義式看 an1 x1 n1 an2...