1樓:匿名使用者
令x = a • tanθ
,dx = a • sec2θ dθ
(a2 + x2)^(3/2) = (a2 + a2 • tan2θ)^(3/2) = (a2 • sec2θ)^(3/2) = a3sec3θ
∫ x2/(a2 + x2)^(3/2) dx
= ∫ (a2tan2θ)(asec2θ)/(a3sec3θ) dθ
= ∫ tan2θ/secθ dθ = ∫ (1 - cos2θ)/cosθ dθ = ∫ (secθ - cosθ) dθ
= ln|回secθ + tanθ| - sinθ + c
= ln|√
答(a2 + x2)/a + x/a| - x/√(a2 + x2) + c
= ln|x + √(a2 + x2)| - x/√(a2 + x2) + c
求不定積分∫1/(a^2+x^2)dx 解答越詳細越好。。。
2樓:demon陌
令x=atanz
dx=asec2z dz
原式=∫asecz*asec2z dz
=∫secz dtanz,a2先省略
=secztanz - ∫tanz dsecz
=secztanz - ∫tanz(secztanz) dz
=secztanz - ∫sec3z dz + ∫secz dz
∵2∫sec3z dz = secztanz + ln|secz + tanz|
∴∫sec3z dz = (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + c
原式=(1/2)a2secztanz + (1/2)a2ln|secz + tanz| + c1
=(1/2)x√(a2+x2) + (1/2)a2ln|x + √(a2+x2)| + c2
3樓:匿名使用者
∫ dx/(a2 + x2)
= ∫ dx/[a2(1 + x2/a2)]= (1/a2)∫ dx/(1 + x2/a2)= (1/a2)∫ d(x/a · a)/(1 + x2/a2)= (1/a2)(a)∫ d(x/a)/(1 + x2/a2)= (1/a)∫ d(x/a)/[1 + (x/a)2]= (1/a)arctan(x/a) + c <==公式∫ dx/(1 + x2) = arctan(x) + c
不明白你的過程,沒有1/2的,那是1/a
求不定積分:∫x/(x^2-x-2 )dx
4樓:寂寞的楓葉
解:∫x/(x^2-x-2 )dx
=∫x/((x-2)*(x+1))dx
=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx
=2/3∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx
=2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c
即∫x/(x^2-x-2 )dx的不定積分為2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c。
擴充套件資料:
1、不定積分的求解方法
(1)積分公式法
例:∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cosxdx=sinx+c、∫sinxdx=-cosx+c
(2)換元積分法
例:∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin2x+c
2、不定積分的公式型別
(1)含ax^2±b的不定積分
∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+c
(2)含a+bx的不定積分
∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+c、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+c
(3)含x^2±a^2的不定積分
∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+c、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+c
5樓:我的我451我
被積函式是分數形式一般要拆分,怎麼拆必須公式要熟。
∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+c c為常數
拆分規則:在有意義的情況下,是任何一個賦值都會滿足的。
因為本身有理式的拆分就是一個恆等式求解的過程,也就是設a(x)=a(x),那麼你無論給左右兩邊取什麼值,只要這個值在a(x)的定義域內,該等式一定成立的。
而且如果不採用賦值法的話,就直接進行同分,最後我們用到的定理叫做多項式恆等定理,效果是一樣的。
6樓:熱心網友
|不定積分
∫x/(x^2-x-2 )dx的結果為2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c。
解:因為x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1)),
令x/((x-2)*(x+1))=a/(x-2)+b/(x+1)=(ax+a+bx-2b)/((x-2)*(x+1)),
可得a=2/3,b=1/3。那麼,
∫x/(x^2-x-2)dx
=∫x/((x-2)*(x+1))dx
=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx
=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx
=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+c
擴充套件資料:
1、因式分解的方法
(1)十字相乘法
對於x^2+px+q型多項式,若q可分解因數為q=a*b,且有a+b=p,那麼可應用十字相乘法對多項式x^2+px+q進行因式分解。
x^2+px+q=(x+a)*(x+b)
(2)公式法
平方差公式,a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。
完全平方和公式,a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
完全平方差公式,a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2、不定積分湊微分法
通過湊微分,最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。
例:∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+c
直接利用積分公式求出不定積分。
3、不定積分公式
∫mdx=mx+c、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cscxdx=-cotx+c
7樓:匿名使用者
先裂項得:1/3[x/(x-2)-x/(x+1)]
對分子做改變:x-2+2,x+1-1。
然後x就被消除掉了,接著就可以直接用公式得出答案:2/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+c
8樓:我不是他舅
a/(x-2)+b/(x+1)
=[a(x+1)+b(x-2)]/(x-2)(x+1)則a(x+1)+b(x-2)=x
所以a+b=1
a-2b=0
解出來即可
根號下a^2+x^2的不定積分怎麼求
9樓:匿名使用者
^^解:∫√(a^2-x^2)dx
設x=asint
則dx=dasint=acostdt
a^2-x^2
=a^2-a^2sint^2
=a^2cost^2
∫√(a^2-x^2)dx
=∫acost*acostdt
=a^2∫cost^2dt
=a^2∫(cos2t+1)/2dt
=a^2/4∫(cos2t+1)d2t
=a^2/4*(sin2t+2t)
將x=asint代回
∫√(a^2-x^2)dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)/2+c
擴充套件資料:積分公式
注:以下的c都是指任意積分常數。
全體原函式之間只差任意常數c
10樓:牽奕聲梅妍
^^^∫x^2/√(a^2+x^2)dx
=∫(x^2+a^2-a^2)/√(a^2+x^2)dx=∫√(x^2+a^2)dx-a^2∫dx/√(a^2+x^2)=x√(x^2+a^2)-
∫x√d(x^2+a^2)dx-a^2arsh(x/a)=x√(x^2+a^2)-
∫x^2dx/√(x^2+a^2)-a^2(ln(x/a+√(1+(x/a)^2)),
2∫x^2dx/√(x^2+a^2)=
x√(x^2+a^2)-a^2,
∴∫x^2dx/√(a^2+x^2)=
x√(a^2+x^2)/2-a^2ln[x+√(a^2+x^2)]/2+c
這裡用到分部積分和反雙曲正弦函式arshx。
11樓:享受孤獨
有分部積分做的確比較簡單
12樓:來安大記得q我
用分部積分法,
i=∫√x^2+a^2dx=x√x^2+a^2-∫x·x/√x^2+a^2dx
13樓:匿名使用者
答案錯了吧 ln前應該是a^2/2吧?
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