1樓:彳亍雲啊
你是指的a0不同嗎,差2倍,觀察一下兩個函式最初的級數表示式,是不是有一個a0除以2了,一個沒除以2,也就是說最終結果還是相同的
2樓:科技數碼答疑
第一個為級數,是離散的
第二個為積分表示式
什麼是傅立葉級數,它的表示式是怎樣?
3樓:日向あ舞
一. 傅立葉級數的三角函式形式
設f(t)為一非正弦周期函式,其週期為t,頻率和角頻率分別為f , ω1。由於工程實際中的非正弦周期函式,一般都滿足狄裡赫利條件,所以可將它成傅立葉級數。即
其中a0/2稱為直流分量或恆定分量;其餘所有的項是具有不同振幅,不同初相角而頻率成整數倍關係的一些正弦量。a1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或基波,a1,ψ1分別為其振幅和初相角;a2cos(ω2t+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍,稱為二次諧波,a2,ψ2分別為其振幅和初相角;其餘的項分別稱為三次諧波,四次諧波等。基波,三次諧波,五次諧波......統稱為奇次諧波;二次諧波,四次諧波......統稱為偶次諧波;除恆定分量和基波外,其餘各項統稱為高次諧波。
式(10-2-1)說明一個非正弦周期函式可以表示一個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。
上式有可改寫為如下形式,即
當a0,an, ψn求得後,代入式 (10-2-1),即求得了非正弦周期函式f(t)的傅立葉級數式。
把非正弦周期函式f(t)成傅立葉級數也稱為諧波分析。工程實際中所遇到的非正弦周期函式大約有十餘種,它們的傅立葉級數式前人都已作出,可從各種數學書籍中直接查用。
從式(10-2-3)中看出,將n換成(-n)後即可證明有
a-n=an
b-n=-bn
a-n=an
ψ-n=-ψn
即an和an是離散變數n的偶函式,bn和ψn是n的奇函式。
二. 傅立葉級數的復指數形式
將式(10-2-2)改寫為
可見 與 互為共軛複數。代入式(10-2-4)有
上式即為傅立葉級數的復指數形式。
下面對和上式的物理意義予以說明:
由式(10-2-5)得的模和輻角分別為
可見的模與幅角即分別為傅立葉級數第n次諧波的振幅an與初相角ψn,物理意義十分明確,故稱為第n次諧波的複數振幅。
的求法如下:將式(10-2-3a,b)代入式(10-2-5)有
上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式(10-2-8)與(10-2-7),通常用下列符號表示,即
即根據式(10-2-8)由已知的f(t)求得,再將所求得的代入式(10-2-7),即將f(t)成了復指數形式的傅立葉級數。
在(10-2-7)中,由於離散變數n是從(-∞)取值,從而出現了負頻率(-nω1)。但實際工程中負頻率是無意義的,負頻率的出現只具有數學意義,負頻率(-nω1)一定是與正頻率nω1成對存在的,它們的和構成了一個頻率為nω1的正弦分量。即
引入傅立葉級數復指數形式的好處有二:(1)複數振幅同時描述了第n次諧波的振幅an和初相角ψn;(2)為研究訊號的頻譜提供了途徑和方便。
自己看:http://www1.
gdou.edu.**/***y/dljc/ml.
4樓:
法國數學家傅立葉發現,任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示(選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的),後世稱為傅立葉級數(法文:série de fourier,或譯為傅立葉級數),
傅立葉級數的公式
給定一個週期為t的函式x(t),那麼它可以表示為無窮級數:
x(t)=\sum _^a_k\cdot e^)t}(j為虛數單位)(1)
其中,ak可以按下式計算:
a_k=\frac\int_x(t)\cdot e^)t}(2)
注意到f_k(t)=e^)t}是週期為t的函式,故k 取不同值時的週期訊號具有諧波關係(即它們都具有一個共同週期t)。k=0時,(1)式中對應的這一項稱為直流分量,k=\pm 1時具有基波頻率\omega_0=\frac,稱為一次諧波或基波,類似的有二次諧波,三次諧波等等。
傅立葉級數的收斂性
傅立葉級數的收斂性:滿足狄利赫裡條件的周期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫裡條件如下:
1. 在任何週期內,x(t)須絕對可積;
2. 在任一有限區間中,x(t)只能取有限個最大值或最小值;
3. 在任何有限區間上,x(t)只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現象:在x(t)的不可導點上,如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t),那麼x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號。
三角函式族的正交性
所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線形表出。
三角函式族的正交性用公式表示出來就是:
\int _^\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;
\int _^\sin (nx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _^\cos (nx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _^\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;
\int _^\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
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奇函式和偶函式
奇函式fo(x)可以表示為正弦級數:
f_o(x) = \sum _^b_k \sin(kx);
而偶函式fe(x)則可以表示成餘弦級數:
f_e(x) = \frac+\sum _^a_k\cos(kx)。
只要注意到尤拉公式: ejθ = cosθ + jsinθ,這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的公式中匯出。
5樓:匿名使用者
§11.8 傅立葉級數
一、三角級數與三角函式系的正交性
描述簡諧振動的函式
就是一個以 為週期的正弦函式,其中y表示動點的位置,t表示時間,a為振幅, 為角頻率, 為初相。
在實際問題中,還會遇到一些更復雜的周期函式,如電子技術中常用的週期為t的矩形波。
如何深入研究非正弦周期函式呢?聯絡到前面介紹過的用函式的冪級數式表示與討論函式,我們也想將周期函式成由簡單的周期函式例如三角函式組成的級數,具體的來說,將週期為 的周期函式用一系列三角函式 組成的級數來表示,記為
(1)其中 都是常數。
將周期函式按上述方式,它的物理意義量很明確的,這就是把一個複雜的週期運動看成是許多不同頻率的簡諧振動的疊加,在電工學上這種稱為諧波分析。
為了討論的方便,我們將正弦函式 變形成為
並且令 則(1)式右端的級數就可以改寫為
(2)一般地,形如(2)式的級數叫做三角級數,其中 都是常數。
如同討論冪級數時一樣,我們必須討論三角級數(2)的收斂問題,以及給定週期為2 的周期函式如何把它成三角級數(2)。
我們首先介紹三角函式系的正交性。
所謂三角函式系
(3)在區間[ ]上正交,就是指在三角函式系(3)中任何兩個不同函式乘積在區間[ ]上的積分等於零,即
6樓:手機使用者
法國數學家、物理學家。2023年3月21日生於歐塞爾,
2023年5月16日卒於巴黎。9歲父母雙亡, 被當地教堂收養。12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。
17歲(1785)回鄉教數學,1794到巴 黎,成為高等師範學校的首批學員, 次年到巴黎綜合工科學校執教。2023年隨拿破崙遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院祕書,2023年回國後任伊澤爾 省地方長官。2023年當選為科學院院 士,2023年任該院終身祕書,後又任法蘭西學院終身祕書和理工科大學校務委員會主席。
主要 貢獻是在研究熱的傳播時創立了一套數學理論。2023年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》**, 推導 出著名的熱傳導方程 ,並在求解該方程時發現解函式可以由三角函式構成的級數形式表示,從而提出任一函式都可以展成三角函式的無窮級數。
1822 年在代表作《熱的分析理論》中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分佈傳播問題,成為分析學在物理中應用的最早例證之一,對19 世紀數學和理論物理學的發展產生深遠影響。傅立葉級數(即三角級數)、傅立葉分析等理論 均由此創始。其他貢獻有:
最早使用定積分符號,改進了代數方 程符號法則的證法和實根個數 的判別法等。
(二)傅立葉(fourier,1772—1837)2023年4月生在法國一個富商家庭,自幼勤奮好學,善於思考問題。在他的學說中,他無情揭露資本主義社會的種種罪惡,建立起自己的空想社會主義思想體系。傅立葉為了自己的美好的設想,曾進行過一些嘗試。
雖然他的設想都失敗了,但傅立葉關於未來社會的天才設想,卻給科學社會主義的誕生提供了寶貴的思想材料。
這裡提到了三角級數的運用
傅立葉級數
7樓:匿名使用者
傅立葉級數,忘得差不多了,好像記得端點π滿足f(π)=[lim(x->π-)f(x)+lim(x->-π+)f(x)]/2,
對於奇函式,lim(x->π-)f(x)+lim(x->-π+)f(x)=0。 所以端點處的函式值,是人為的定義的,
保證在這一點函式正確。
原函式在這一點間斷,那麼展成傅立葉級數,在這一點也間斷。
從別處偷來的一段話,在間斷點,fourier級數會突變。說白了就是:在函式間斷處fourier級數也間斷,但fourier間斷處值始終為1/2(式左右極限和),而函式間斷處值是人為定義的,你想取多少就取多少。
如果恰巧取1/2(式左右極限和),那麼fourier級數在這點就收斂,否則反之
傅立葉級數的和函式，傅立葉級數的和函式？
本題選b。f x 是分段函式，那麼其傅立葉級數的和函式值在連續點處和原函式值相等，在間斷點處取值為原函式左右極限的算術平均值。以上，請採納。不用了吧，函式寫成在分段光滑的區間上成的傅立葉級數在並上角點的值就行了 設分段函式為f x 那麼s x 與f x 的關係如下 在f x 的連續點處的值s x 與...
傅立葉級數傅立葉變換和傅立葉分析是什麼關係
傅立葉級數針對的是周期函式 傅立葉變換針對的是非周期函式,本質上都是一種把訊號表專示成復正選屬訊號的疊加,都有相似的特性,因為四種傅立葉表示都利用了復正選訊號,這些特性提供了一種透徹瞭解時域和頻域訊號表示的特徵的方法.傅立葉bai變換是現代資訊通du信領域的重要數學工具之一zhi。傅dao裡葉級數主...
傅立葉級數展開式為什麼都不做週期延拓的步驟
嚴格來講必須要寫明週期延拓的,還有奇偶延拓也要交代清楚。但結果不受交代與否的影響,因為計算時只是利用一個週期的函式的積分計算的。關於傅立葉級數週期延拓的判斷問題 首先只要是周期函式,滿足狄利克雷定理都是可以傅立葉,定義域就是你理解的那樣根據題設要求來的。能為傅立葉級數的函式必須是周期函式嗎 不需要,...