泰勒中值定理1證明問題,泰勒中值定理證明中的問題

2023-01-16 00:15:40 字數 4986 閱讀 3469

1樓:匿名使用者

因為rn(x)的極限是0,而當x趨近於x0時x-x0的極限也是0,就是0比0型,洛必達法則,中間省略號的就是求n-1階導數,而當x趨近於x0的時候,rn(x0)=0,就是倒數第二部的來歷(個人覺得沒必要)。後面的不懂可以追問,一起討論,這也是我個人理解,不一定對。

2樓:跑著進入青春花季

我他媽就是倒數第二步不懂

3樓:匿名使用者

雖然看到你們這個問答是在好久,但是現在還是再來說下,我也是才弄懂的,lz其實和我一樣,書的開始第一句話弄錯了,他說的意思不是通過rn(x)的式子來證明rn(x)=f(x)-pn(x),但是實際上來講他是用rn(x)=f(x)-pn(x),用rn(x)/(x-x0)^(n+1)來最後求出rn(x)的式子。

我也是才弄明白,希望對你有幫助。

4樓:

其實從泰勒定理的廣泛目的就可以理解,為了用一個簡單的多項式函式pn(x)來表示一個複雜函式f(x),就必然要求餘項r滿足上式。

如果要證明,其實是先設rn(x)=f(x)-p(x)的,詳細如下:

若函式f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於(x-x.)多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.

)+f''(x.)/2!•(x-x.

)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.

)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.

)^n+rn

其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

(注:f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘。)

證明:我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.

)(x-x.)+α(根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.

)=f'(x.)δx),其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0,所以在近似計算中往往不夠精確;於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式:

p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n

來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.

),p'(x.)=f'(x.),p''(x.

)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.

),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然,p(x.)=a0,所以a0=f(x.

);p'(x.)=a1,a1=f'(x.);p''(x.

)=2!a2,a2=f''(x.)/2!

……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.

)/n!。至此,多項的各項係數都已求出,得:p(x)=f(x.

)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.

)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.

)/n!•(x-x.)^n.

接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.

)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.

)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.

)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.

)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注:

(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.

之間;繼續使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.

)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間;連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!

,這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!

an,n!an是一個常數,故p(n+1)(x)=0,於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得,餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!

•(x-x.)^(n+1)。一般來說函式時都是為了計算的需要,故x往往要取一個定值,此時也可把rn(x)寫為rn。

麥克勞林式:若函式f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於x多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+rn

其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),這裡0<θ<1。

證明:如果我們要用一個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式,就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式:

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!

•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)

由於ξ在0到x之間,故可寫作θx,0<θ<1。

泰勒中值定理證明中的問題

5樓:

其實從泰勒定理的廣泛目的就可以理解,為了用一個簡單的多項式函式pn(x)來表示一個複雜函式f(x),就必然要求餘項r滿足上式。

如果要證明,其實是先設rn(x)=f(x)-p(x)的,詳細如下:

若函式f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於(x-x.)多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.

)+f''(x.)/2!•(x-x.

)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.

)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.

)^n+rn

其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

(注:f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘。)

證明:我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.

)(x-x.)+α(根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.

)=f'(x.)δx),其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0,所以在近似計算中往往不夠精確;於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式:

p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n

來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.

),p'(x.)=f'(x.),p''(x.

)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.

),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然,p(x.)=a0,所以a0=f(x.

);p'(x.)=a1,a1=f'(x.);p''(x.

)=2!a2,a2=f''(x.)/2!

……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.

)/n!。至此,多項的各項係數都已求出,得:p(x)=f(x.

)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.

)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.

)/n!•(x-x.)^n.

接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.

)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.

)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.

)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.

)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注:

(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.

之間;繼續使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.

)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間;連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!

,這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!

an,n!an是一個常數,故p(n+1)(x)=0,於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得,餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!

•(x-x.)^(n+1)。一般來說函式時都是為了計算的需要,故x往往要取一個定值,此時也可把rn(x)寫為rn。

麥克勞林式:若函式f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為一個關於x多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+rn

其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),這裡0<θ<1。

證明:如果我們要用一個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式,就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式:

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!

•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)

由於ξ在0到x之間,故可寫作θx,0<θ<1。

6樓:匿名使用者

雖然看到你們這個問答是在好久,但是現在還是再來說下,我也是才弄懂的,lz其實和我一樣,書的開始第一句話弄錯了,他說的意思不是通過rn(x)的式子來證明rn(x)=f(x)-pn(x),但是實際上來講他是用rn(x)=f(x)-pn(x),用rn(x)/(x-x0)^(n+1)來最後求出rn(x)的式子。

我也是才弄明白,希望對你有幫助。

拉格朗日中值定理可以用積分中值定理證明嗎

問題是,積分中值定理,可以取閉區間啊。基本上沒有錯,就是最後b a有個括號給你隨意的扔了,數學上,括號是很重要的哦,就如人的衣服,隨意脫掉不得哦。關於拉格朗日中值定理與積分中值定理的區別 一 反映內容不同bai 1 拉格朗日du中值定理 zhi 反映了可導dao函式在閉區間上的整 專體的平均變化率與...

急求請用積分中值定理,證明,用積分中值定理證明的題

這題不能用中值定理證明 可以化為二重積分 利用積分割槽間關於直線y x對稱 和均值不等式證明 也可以構造一個恆 0的二次函式 利用判別式 0證明 就是柯西 許瓦茨不等式的證明方法 過程如下圖 用積分中值定理證明的題 我來救你了 用積分第一中值定理 f c a,b g r a,b 且g在 a,b 上不...

高等數學中值定理證明題,高等數學中值定理的證明題

前提條件是ab內連續 所謂函式存在最大值就是函式在最大值點的一階導數值為0,而且最大值點左右兩邊的一階導數小於0 看清楚,a b 內二階可導且存在相等的最大值,而不是,括號打不出來,所以斷點處是不存在最值的 1.其中存在相等的最大值,說的是在 a,b 的開區間的存在相等的最大值 2.在某個開區間存在...