正交矩陣有什麼性質

1樓：起個名好難

實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間r的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成r的正交基。假設帶有正交(非正交規範)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是mm=d，d是對角矩陣。

1.逆也是正交陣；

2.積也是正交陣；

3.行列式的值為正1或負1。

任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）

對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。

比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有(複數)絕對值1。

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正交矩陣的作用

數值分析自然的利用了正交矩陣的很多數值線性代數的性質。例如，經常需要計算空間的正交基，或基的正交變更；二者都採用了正交矩陣的形式。有行列式±1和所有模為1的特徵值是對數值穩定性非常有利的。

一個蘊涵是條件數為1(這是極小的)，所以在乘以正交矩陣的時候錯誤不放大。很多演算法為此使用正交矩陣如householder反射和givens旋轉。有幫助的不只是正交矩陣是可逆的，還有它的逆矩陣本質上是免花費的，只需要對換索引(下標)。

置換是很多演算法成功的根本，包括有區域性定支點(partialpivoting)的運算繁重的高斯消去法(這裡的置換用來定支點)。但是它們很少明顯作為矩陣出現；它們的特殊形式允許更有限的表示，比如n個索引的列表。

同樣的，使用householder和givens矩陣的演算法典型的使用特殊方法的乘法和儲存。例如，givens旋轉隻影響它所乘的矩陣的兩行，替代完全的n次的矩陣乘法為更有效的n次運算。在使用這些反射和旋轉向矩陣介入零的時候，騰出的空間足夠儲存充足的資料來重生成這個變換

2樓：暮不語

1、逆也是正交陣

對於一個正交矩陣來說，它的逆矩陣同樣也是正交矩陣。

2、積也是正交陣

如果兩個矩陣均為正交矩陣，那麼它們的乘積也是正交矩陣。

3、行列式的值為正1或負1

任何正交矩陣的行列式是+1或−1對於置換矩陣，行列式是+1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。

4、在複數上可以對角化

比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有(複數)絕對值1。

5、群性質

正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有n×n正交矩陣的集合滿足群的所有公理。它是n(n−1)/2維的緊緻李群，叫做正交群並指示為o(n)。

行列式為+1的正交矩陣形成了路徑連通的子群指標為2的o(n)正規子群，叫做旋轉的特殊正交群so(n)。商群o(n)/so(n)同構於o(1)，帶有依據行列式選擇[+1]或[−1]的投影對映。

3樓：風馳_草原狼

如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置」。）則n階實矩陣a稱為正交矩陣

性質：1. 方陣a正交的充要條件是a的行（列) 向量組是單位正交向量組；

2. 方陣a正交的充要條件是a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基；

3. a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；

4. a的列向量組也是正交單位向量組。