1樓：匿名使用者
只需用抄連續函式逼近就可以了。
注意到對任意的連續函式g(x)有 lim 積分（從a到b）g(x)|sinnx|dx=2/pi *積分（從a到b）g(x)dx。
對任意的e>0，存在一個連續函式g(x)，使得 積分（從a到b）|f(x)--g(x)|dxn時，有|積分（從a到b）g(x)|sinnx|dx--2/pi*積分（從a到b）g(x)dx|n時，有 |積分（從a到b）f(x)|sinnx|dx--2/pi*積分（從a到b）f(x)dx|
<=|積分（從a到b）f(x)|sinnx|dx--積分（從a到b）g(x)|sinnx|dx |
+|積分（從a到b）g(x)|sinnx|dx--2/p*積分（從a到b）g(x)dx |
+|2/p*積分（從a到b）g(x)dx--2/p*積分（從a到b）f(x)dx|
上式中第一第三兩項均不超過積分（從a到b）|f(x)--g(x)|dx。
2樓：匿名使用者 其實2樓的答案就很好啊，只用考慮f是常數就可以啊，因為這已經包括了所有區間的情況。同時也就證明了測度|sin(nx)|dx弱收斂於lebesgue測度啊，因為在每個區間上都是收斂的。 3樓：小羅 我同學幫你解決了，答案送上！ 1. 先證 f 是常數的情況，因為 ∫（a→b）版= ∫（0→b）- ∫（0→a），所以只需證權 : ∫（0→b）sin|nx|dx=2b/π 即可. 設 kπ/n <= b <= (k+1)π/n，函式 sin|nx| 在[0, b]上的積分就可以被夾逼出來了， s1 = ∫（0→kπ/n）sin|nx|dx <= s = ∫（0→b）sin|nx|dx <= ∫（0→(k+1)π/n）sin|nx|dx = s2 s1 = k ∫（0→π/n）sin(nx) dx =2k/n, s2 = (k+1) ∫（0→π/n）sin(nx) dx = 2(k+1)/n 由 kπ/n <= b <= (k+1)π/n 知道，n趨於無窮的時候，k/n -> b/π，(k+1)/n->b/π. 於是就得到了 n→∞，s -> 2b/π，得證。 2.f 在[a,b]上lebesgue可積，那麼可以用階梯函式逼近，每個階梯函式在[a,b]上的小區間都是常數，由1的證明，上面的式子都成立 ，那麼由課本上的定理，階梯函式極限幾乎處處趨於f，那麼在[a,b]上積分極限就等於 f 在[a,b]的積分。證完！ 4樓：匿名使用者 將區間均分為n份，分抄點為xi=ipi/2n，i=0,1,2,...,n。原積分 寫為n個區間的積分和，再在每個區間上用積分中值定理，＝求和_f(yi)積分_到x_i}|sinnx|dx=2/pi×求和_f(yi)pi/(2n)，當n趨於無窮時，後者是積分和，極限就是f的積分值。中間要用到在每個子區間上 |sinnx|的積分為1，可以用變數很容易得到。 積分_到x_i}|sinnx|dx=積分_/n，這一步是令nx＝z。 積分_＝積分_＝1，這一步是令z-(i-1)pi/2=x lebesgue積分的問題，實變函式簡明教程第四章第二十五題 5樓：混沌的複雜 由於符號不好打，我就說說我的思路吧~ 首先由可積函式的積分絕對連續性易證f(x)在除0點外連續，因此f(x)在[0,1]上lebesgue可積。 f(x,t)=f(t)/t 在 x-t平面[0,1]x[0,1]上可積 所以有fubini定理 在交換積分次序後可證得第三問 由於f(t) 可積 所以對任意e,存在n 使得n (代表函式值的截斷)在[0,1]上的積分與f(t)在[0,1]的積分相差不超過e,可得 x*|f(x)|《-n*x*ln(x)+x*e/x=e+n*x*ln(x) 注意n之和e有關 且x*ln(x)趨於0 當x趨於0 所以第二問得證 6樓：就是 實變全忘光了......我們老師幾乎等於沒講 實變函式 lebesgue積分習題 ，不會做，跪求大神們
50 7樓：匿名使用者 利用下極限和上極限關於上下確界的定義推導即可,中間那個不等式顯然成立,主要推導兩邊 關於勒貝格積分一道題的證明沒太看懂求解釋
200 8樓：匿名使用者 這個題目太難了 根本就沒有人能回答 你只能去問你的老師了 求大神求解一下lebesgue積分 9樓：巴山蜀水 35題，令e^x=1/t。∴原式=∫(0,1)ln²tdt/(1-t)。 而，t∈[0,1)時，1/(1-t)=∑t^n，n=0,1,2，…，∞，∴原式=∑∫(0,1)(t^n)ln²tdt。用分部積分法可得，原式=∑1/n³，其中n=1,2，…，∞。 36題，∵x∈[0,1)時，1/(1+x²)=∑(-x²)^n，n=0,1,2，…，∞，兩邊從0到x積分，有arctanx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)。 ∴arctanx/x=∑[(-1)^n][x^(2n)]/(2n+1)。兩邊再從0到1積分、將n的起始值調整為n=1，可得∫(0,1)arctanx/dx=∑[(-1)^(n-1)]/(2n-1)²，其中n=1,2，…，∞。 供參考。 分析數學: 如何求這個lebesgue積分 10樓：匿名使用者 將[0,1]分為兩個 copy可測集，[0,1]上的有理數集和[0,1]上的無理數集這個lebesgue積分則可以分為上述兩個集合上的積分的和[0,1]上的有理數集的lebesgue積分值為=∫0dx=0*m([0,1]上的有理數集)=0 [0,1]上的無理數集的lebesgue積分值為=∫1dx=1*m([0,1]上的無理數集)=1 所以這個函式在[0,1]上的lebesgue積分值=0+1=1 11樓：匿名使用者 這個問題不用死算,要知道在[0,1]上無理數的數量要比有理數數量多,且前者相對後者是更高階的無窮大,所以函式值為一的所有區間加起來區間長度可看為零.故最後的積分值也是零. 0 2 f sinx dx 0 1 f t d arcsint 變數代換t sinx，改上下限 0 1 f t 1 t dt 0 2 f cosx dx 1 0 f t d arccost 變數代換t cosx，改上下限 1 0 f t 1 t dt 0 1 f t 1 t dt 所以，0 2 f ... 定積分的幾道題？最後一題不知道問什麼。1,把x湊到d後面，變成1 2 dx 2，然後把積分化為 1 8 s 0 1 2 1 4x 2 10d 1 4x 2 1 88 1 4x 2 11 0 1 2 1 88.說明 符號表積分限。前面的數字a是下限，後面的數字b是上限。1 0,1 2 x 1 4x 1... 主要步驟 聯立方程求兩函式交點 根據對稱性求第一象限區域面積兩倍即可 用積分公式或分部積分法求解。詳細過程如下圖所示 先計算兩條曲線的交點 x 2 1 4 x 4 8 x 4 4x 2 32 0 x 2 8 x 2 4 0 x 2 4 x 2 所以兩條曲線圍成的面積 2,2 8 x 2 1 2 x ...定積分的證明題，定積分證明題
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