p為正整數,證明若p不是完全平方數則根號p為無理數

2021-03-10 20:39:02 字數 4845 閱讀 6905

1樓:匿名使用者

p為正整數bai,證明若p不是完全平

du方數則根號

p為無理zhi數

假設根號daop是有理數,則

存在互素

專的正整數m和n使得

根號p=m/n

所以p=m^屬2/n^2

所以m^2=p*n^2

所以m必為p的倍數

設m=pk

則p^2k^2=p*n^2

p*k^2=n^2

所以n也必是p的倍數,矛盾

2樓:妙酒

若p為正bai

整數,p可以等於根du號p的平方,由此得zhi知,當一個實數dao開平方時,根號內實數內必為完全平方數,而開方後容只能得0、正有理數、正無理數,若答案為0或正有理數時,p為完全平方數,由題意得,p非完全平方數,則只可能為無理數。

3樓:匿名使用者

p為正整數,證明若

baip不是完全

du平方數則根號p為無理數

zhi假設根號p是有dao理數,回則存在互素的答正整數m和n使得√p=m/n,其中n≠1,(m,n)=1,即m/n是小數,因為小數的平方是小數,得到p=m^2/n^2是小數,與p為正整數矛盾,因此根號p為無理數

4樓:匿名使用者

證明比較複雜,找個相似的看看行不。

證明根號2不是有理數.

證明:假設根號2是有理數,

專設根號2=q/p(屬p、q是整數,而且互質),則q=根號2*p所以 q平方=2*p平方,因為右邊是2的倍數,故左邊q平方也是2的倍數,從而q是2的倍數,設q=2n,代入q平方=2*p平方得:2*n平方=p平方,由於左邊是2的倍數,故右邊p平方也是2的倍數,從而p是2的倍數,則p、q都是2的倍數,即p、q有公因數2,這與p、q互質相矛盾。所以根號2不是有理數,是無理數。

5樓:小山

^下面我來補充一下:bai如何du由m^2=p*n^2證出m為p的倍數

設m=pq+r(0≤r)﹙

zhi其中q為正整數dao﹚ (下證r只能等於回0)兩邊同時除以p,有m/p=q+r/p

由p=m/n, 得答m/p=n

由以上兩個式子,有q+r/p=n ,因為r

即m必為p的倍數

設p為正整數。證明:若p不是完全平方數,則根號p是無理數 10

6樓:夏致萱查琦

p為正整數

,證明若復p不是完全平方數則根制號p為無理數假設根bai號dup是有理數,則

存在zhi互素的正整數m和n使得

根號p=m/n

所以daop=m^2/n^2

所以m^2=p*n^2

所以m必為p的倍數

設m=pk

則p^2k^2=p*n^2

p*k^2=n^2

所以n也必是p的倍數,矛盾

7樓:我要一個好的

反證法:假bai設√p是有理數du,則p是有理數,又p不是完zhi全平方數,所以daop是分數內(有理數分為整數容和分數)。

這與p為正整數矛盾。

所以假設不成立。

故若p不是完全平方數,則根號p是無理數

?題目設p為正整數.證明:若p不是完全平方數,則根號p是無理數

8樓:匿名使用者

假設√p是有理數,那麼設√p=m/n,m,n是互質正整數

p=m²/n²,由於p是正整數,得n=1,∴p=m²

而m是正整數,m²是完全平方數,與題目矛盾

9樓:盤四野

p為正整數,n不一定等於1

10樓:彌朝續綠夏

反證法:假設√p是有理數,則p是有理數,

又p不是完全平方數,所以p是分數(有理數分為整數和分數)。

這與p為正整數矛盾。

所以假設不成立。

故若p不是完全平方數,則根號p是無理數

11樓:茆堅矯睿姿

^^^反證:設√p=a/b,a,b是正整數且ab互質p=a^2/b^2

p*b^2=a^2

a和b互質所以a是p的倍數設a=pm

p*b^2

=p^2m^2

b^2=

pm^2

因為m與b素質內,容所以b^2是p的倍數,所以ab有公因數p,矛盾

根號p是無理數

設為p正整數,證明:若p不是完全平方數,則根號p(開平方)是無理數。 5

12樓:北極天辰

若p為正整

來數,p可以等於根源號p的平方,由此得知,當一個實數開平方時,根號內實數必為完全平方數,而開方後只能得0、正有理數、正無理數,若答案為0或正有理數時,p為完全平方數,由題意得,p非完全平方數,則只可能為無理數。

請證明:根號三是無理數

13樓:風之鷂

^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數

2、設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.

3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1

根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

拓展資料:

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年,德國數學家戴德金從連續性的要求出發,用有理數的「分割」來定義無理數,並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,從而結束了無理數被認為「無理」的時代,也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

14樓:匿名使用者

^證明根號3是無理數,使用反證法

如果√3是有理數,必有√3=p/q(p、q為互質的正整數)兩邊平方:3=p^2/q^2

p^2=3q^2

顯然p為3的倍數,設p=3k(k為正整數)有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2

於是q於是3的倍數,與p、q互質矛盾

∴假設不成立,√3是無理數

15樓:雄鷹

分析:①有理數的概念:

「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。

整數和分數也統稱為有理數。

所有的分數都是有理數,分子除以分母,最終一定是迴圈的。

②無理數的概念:無限不迴圈小數,可引申為「開方開不盡的數」。

③反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立,然後正確地證明原假設是錯誤的。

解:假設(√3)是有理數,

∵ 1<3<4

∴(√1)<(√3)<(√4)

即:1<(√3)<2

∴(√3)不是整數。

∵整數和分數也統稱為有理數,而(√3)不是整數

∴在假設「(√3)是有理數」的前提下,(√3)只能是一個分子分母不能約分的分數。

此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)

兩邊平方,得:

m² / n² = 3

∴m² 是質數3的倍數

我們知道,如果兩個數的乘積是3的倍數,那麼這兩個數當中至少有一個數必是3的倍數。

∴由「m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得:正整數m是3的倍數。

此時不妨設 m = 3k(k為正整數)

把「m = 3k」 代入「m² / n² = 3」 ,得:

(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即:n² / k² = 3

對比「m² / n² = 3「 同理可證

正整數n也是3的倍數

∴正整數m和n均為3的倍數

這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。

意即由原假設出發推出了一個與原假設相矛盾的結論,

∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質,二者不能再約分,即二者除1外再無公因數)」是不成立的。

∴(√3) 不能是一個分子分母不能約分的分數

而已證(√3) 不是整數

∴(√3) 既 不是整數也不是分數,即(√3) 不是有理數。

∴(√3) 是無理數。

16樓:遲沛山告琳

方法一:假設根號3=p/q(p、q為互質整數),則p^2=3q^2

所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q

因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數

方法二:設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數),根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

方法三:設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1

根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

17樓:樸卉吾嘉懿

^反證:假設根號3是有理數,則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,

於是m是3的倍數,令m=3q,

代入上式整理得:n^2=3q^2,

故n也是3的倍數,這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。

證明若n為正整數,且n是有理數,則n是完全平方數

n是有bai理數,所以必然存在 dun p q其中 p,q 1 那麼 q 2n p 2 考慮zhiq的一dao個素因子k,必然回能整答除p 2所以也必然能整除p,而 p,q 1所以k 1所以q只能存在因子1 所以 n p 從而n是完全平方數 打好慢的 滴答滴答滴答滴答滴答滴答滴答滴答 反正 怎麼證明...

正整數a,b,c,d滿足a b c d 1,設p根號下(3a 1) 根號下(3b 1) 根號下(3c 1) 根號下(3d 1),則

不可能。這是一個錯題 試問,有哪4個正整數的和能夠等於1?此題應該改為 正數a,b,c,d滿足a b c d 1,設p 根號下 3a 1 根號下 3b 1 根號下 3c 1 根號下 3d 1 則 a p 5 b p 5 c p 5 d p與5的大小關係不確定 答案 a 此題作為選擇題,可以用特殊值法...

證明以下命題對任一正整數a,都存在正整數b,c b c ,使得a 2,b 2,c 2成等差數列存在

證明 易知12 52 72 成等差數列,則a2 5a 2 7a 2 也成等差數列,所以對任一正整數a,都存在正整數b 5a,c 7a b c 使得a2 b2 c2 成等差數列 若an 2 bn 2 2 成等差數列,則有bn 2 an 2 2 bn 2 bn 2 2 bn 2 2 成等差數列。證明以下...