1樓:匿名使用者
令f(x) = x^5+2x-100
求導:抄
f ′(x) = 5x^4+2>0
f(x)在r上單調
襲增又∵x=0時f(0)=0+0-100<0x=3時f(3)=243+6-100>0
∴在區間(0,3),f(x)與x軸有一個交點又∵f(x)在r上單調增
∴f(x)在r上與x軸有一個交點】
即方程x^5+2x-100=0有且只有一個正根
2樓:奮青
求導導數為正,增函式,然後找一個數使這個式子大於零,再找個數使這個式子小於零,利用閉區間介值定理能推出在這兩數之間必有根,又因為單調遞增,所以只有一根。
證明方程x^5-5x+1=0有且僅有一個小於1的正實根
3樓:116貝貝愛
證明如下:
x^5-5x+1=0
證明:f(x)=x^5-5x+1
f(0)=1,f(1)=-3,介值定理,有一個根x,使得f(x.)=0
設有x1在(0,1)x1不等於x。
根據羅爾定理,至少存在一個e,e在x.和x1之間,使得f'(e)=0
f『(e)=5(e^4-1)〈0矛盾
∴為唯一正實根
有界函式判定方法:
設函式f(x)是某一個實數集a上有定義,如果存在正數m
對於一切x∈a都有不等式|f(x)|≤m的則稱函式f(x)在a上有界,如果不存在這樣定義的正數m則稱函式f(x)在a上無界
設f為定義在d上的函式,若存在數m(l),使得對每一個x∈d有: ƒ(x)≤m(ƒ(x)≥l)。
則稱ƒ在d上有上(下)界的函式,m(l)稱為ƒ在d上的一個上(下)界。
根據定義,ƒ在d上有上(下)界,則意味著值域ƒ(d)是一個有上(下)界的數集。又若m(l)為ƒ在d上的上(下)界,則任何大於(小於)m(l)的數也是ƒ在d上的上(下)界。
根據確界原理,ƒ在定義域上有上(下)確界
。一個特例是有界數列,其中x是所有自然數所組成的集合n。所以,一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。
4樓:匿名使用者
x^5-5x+1=0
f(x)=x^5-5x+1
f(0)=1.f(1)=-3.介值定理。有一個根x。使得f(x。)=0
設有x1在(0,1)x1不等於x。根據
羅爾定理,至少存在一個e,e在x。和x1之間,使得f'(e)=0.
f『(e)=5(e^4-1)〈0矛盾,所以為唯一正實根
5樓:匿名使用者
δ=25-4=21>0 有根
x1+x2=5 x1×x2=1
相乘為正 可以判斷出 兩根通號 相加為正 可判斷兩根同為正相乘為1 說明兩根不可能都小於1或大於1, 那麼只有一個大於1 一個小於1
所以方程有且只有一個小於1的正實根
6樓:追逐天邊的彩雲
題目好像有問題,不妨令f(x)=x^5-5x+1,可得f(1)=-3,f(3)>0,函式在次區間單調,由零點定理故在1到3之間也有根。反正這類題目考慮單調性和零點定理就能搞定。
2、證明方程方程有且僅有一個正實根。
7樓:匿名使用者
你好!1) 設f(x)=x^5+5x^4-5f'(x)=5x^4+20x^3
x>0時,f'(x)>0恆成立,所以f(x)在x>0時至多有一個零點又因為f(x)連續,f(0)=-5<0
而f(1)=1>0
f(0)*f(1)<0,所以函式f(x)在(0,1)內至少有一個零點綜合上f(x)在x>0內有且僅有一個零點,所以x^5+5x^4-5有且僅有一個正實根
2)令g(x)=f(x)+x
由於f(x)連續,顯然g(x)也連續
g(0)=f(0)+0=0
g(1)=f(1)+1=2
由於函式g(x)是連續的,
所以對於x在區間(0,1)內取值時
g(x)可以取到(0,2)內的任意數
顯然1在區間(0,2),內,也可以取到
所以存在一個數屬於e屬於(0,1),使得g(e)=1也就是存在一個數e,使得g(e)=1-e
得證。如有不懂請追問
滿意請採納
有其他問題,請採納本題後點追問
答題不易,望合作o(∩_∩)o~
祝學習進步
8樓:匿名使用者
f(0)<0,f(1)>0 連續函式中值定理知道必有一個實根
f(x)導數求出來,令導數得0 發現4個根中3個是0,且當x>0時,導數大於0 故知道正實根只有一個
3 考慮f(x)+x-1 =g(x), 顯然連續,g(0)=-1 g(1)=1 必存在一點t 滿足f(t)+t-1=0 倒一下就是3題要求的形式
9樓:匿名使用者
2. 左邊設為f(x),f(0)=-5<0,f(1)=1>0 故在(0.1)至少一根,又當x>0 ,f'(x)=5x^4+20x^3>0 f(x)單增,故f(x)有唯一正根
3,f(x)=f(x)+x-1 f(0)=f(0)-1=-1 f(1)=f(1)=1>0,故在(0,1)至少存在ξ使f(ξ)=0
即:f(ξ)=1-ξ
證明方程有且僅有一個實根
10樓:匿名使用者
設函式f(x)=ln(1+x2)-x-1
x取任意實數,函式表示式恆有意義,函式定義域為rf'(x)=[ln(1+x2)-x-1]'
=2x/(1+x2) -1
=(2x-1-x2)/(1+x2)
=-(x2-2x+1)/(1+x2)
=-(x-1)2/(1+x2)
1+x2恆》0,(x-1)2恆≥0,又-1<0f'(x)≤0,函式在r上單調遞減,至多有一個零點。
f(1)=ln1-1-1=0-2=-2<0f(e)=ln(1+e2)-e-1>lne2-e-1=2e-e-1=e-1>0
函式在(1,e)上有零點,則此零點為f(x)的唯一零點。
方程ln(1+x2)=x+1有且僅有一個實根。
11樓:八月冰霜一場夢
解析根據題意我們可以將方程的根轉化為函式的交點個數來解,在利用數形結合的方法我們就能證明方程有且只有一個實根。
如何證明方程x3+x-1=0有且只有一個正實根?
12樓:我是一個麻瓜啊
證明過程如下:來
令f(x)=x^自3+x-1。
則因為x^3,x在r上都是
單調bai增的。
所以duf(x)在r上單調增,故最多zhi只有一個零點。
又因dao為:
f(0)=-1<0
f(1)=1>0
因此f(x)有唯一零點,且在區間(0,1)。
所以方程有且只有一個正實根。
13樓:她的婀娜
利用反證以及零點存在定理和rolle定理,解析如圖
14樓:瓦拉多多
利用rolle定理證明
證明方程x3+x-1=0有且只有一個正實根
15樓:匿名使用者
f(x)=x^3+x-1
f(1)>0
f(0) <0
=>一個正實根 ∈(0,1)
f(x) =x^3+x-1
f'(x) = 2x^2+1 >0
f(x) 增加
16樓:
先求導,得f'(x)=3x2+1 恆大於0 單調增,f(0)=-1 f(1)=1 所以(0,1)必有唯一實根為0
證明方程sinx=x有且僅有一個實根
17樓:匿名使用者
解設y=sinx-x
y的導數=cosx-1
因為cosx≤1,cosx-1≤0
所以y是減函式
x趨近負無窮大,y趨近正無窮大,x趨近正無窮大,y趨近負無窮大所以y與x軸有且只有一個交點,
18樓:匿名使用者
畫下圖就出來了 y=x和y=sinx
19樓:匿名使用者
當x→0,sinx=x才能成立.
證明方程方程有且僅有正實根2證明方程方程有且僅有一個正實根。
你好！1 設f x x 5 5x 4 5f x 5x 4 20x 3 x 0時，f x 0恆成立，所以f x 在x 0時至多有一個零點又因為f x 連續，f 0 5 0 而f 1 1 0 f 0 f 1 0，所以函式f x 在 0,1 內至少有一個零點綜合上f x 在x 0內有且僅有一個零點，所以x...
上連續且大於零,試證明方程f t dtb,x f t dt 0有且僅有實跟，如圖
方向嚴重有誤啊，解方程根本就不能用求導，因為常數的導數為0，加在哪邊都可以 回的。這種題答 的正確思路是用連續函式的介值定理，證明過程如下 f x 在 a，b 上連續，所以可積 設函式f x a,x f t dt b,x 1 f t dt 則f a b,a 1 f t dt a,b 1 f t dt...
證明題中出現 當且僅當的時候成立 ,請問是否需要同時證明充分性和必要性呢
字面理解首先要證明必要性，再證明充分性。但是它更適合的是充要條件。我感覺你問的不太明白，這樣的證明題要先證明它的存在性，再證明它的唯一性。就是先證明在 時候 成立，就是把當且僅當這個數帶到已知條件中，證明它成立。然後帶一個不是 當且僅當 的數字，證明它不成立，就ok了！一般來說是先證充分性，當 的時...