二次函式f x ax 2 bx c,f 1 0是否存在常數a b c使2xf xx 2 1對一切實數x都成立?若存在,求出

2023-03-07 21:15:18 字數 936 閱讀 1916

1樓:無息之風

存在。若存在,2<=f(1)<=2,a+b+c=2y=2x是f(x)在x=1處的切線,2a+b=2又a-b+c=0

所以a=0.5,b=1,c=0.5。

若不知道y=2x是f(x)在x=1處的切線,也可由a+b+c=2和a-b+c=0得到b=1,a+c=1,將c=1-a代入f(x)=ax^2+x+(1-a)<=x^2+1,整理至一邊可得(2a-1)^2<=0,a=0.5.

當然,作為解題過程,最後還需驗證得到的函式滿足要求。

2樓:

由f(-1)=a-b+c=0, 得c=b-a, f(x)=ax^2+bx+b-a=a(x^2-1)+b(x+1)=(x+1)(ax-a+b)

若f(x)>=2x, 即ax^2+bx+b-a>=2x, ax^2+(b-2)x+b-a>=0

要使恆成立,需 a>0 , delta=(b-2)^2-4a(b-a)<=0, 即b^2-4b+4-4ab+4a^2<=0, [b-2(1+a)]^2<=0

只有:b=2(1+a)

又若f(x)<=x^2+1, 即ax^2+bx+b-a<=x^2+1, 即(1-a)x^2-bx+a+1-b>=0

要使恆成立,需1-a>0, delta=b^2-4(1-a)(a+1-b)=4(1+a)^2+4(1-a)(a+1)=8(1+a)<=0, a<=-1

a>0,且 a<=-1這樣矛盾。

所以不存在這樣的a.b,c

3樓:

f(-1)=0得 a-b+c=0

2x與x^2+1交於點(1,2)

可知f(1)=2

a+b+c=2

可得b=1

若要滿足不等式,a+c=1,且0

4樓:匿名使用者

a=0.5

b=1c=0.5

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