1樓：西域牛仔王
只須證明它們能互相線性表示即可。
顯然 a1+a1 ，a1-a2 能用 a1、a2 線性表示；
同時，a1=[(a1+a2)+(a1-a1)]/2 ，a2=[(a1+a2)-(a1-a2)]/2 ，
所以 a1+a2、a1-a2 線性無關 。
也可以直接用定義證明：設 k1(a1+a2)+k2(a1-a2)=0 ，
則 (k1+k2)a1+(k1-k2)a2=0 ，由於 a1、a2 線性無關，因此 k1+k2=k1-k2=0 ，解得 k1=k2=0 ，
所以 a1+a2、a1-a2 線性無關 。
2樓：08之風雨
反證法，假設α1+α2，α1-α2線性相關，則存在k1,k2不全為0，使k1(α1+α2)+k2(α1-α2)=0。對等式變換，得出（k1+k2）α1+（k1-k2）α2=0，因為α1.α2線性無關，那麼k1+k2=0，k1-k2=0，解方程組得出k1=0，k2=0，與假設矛盾，所以α1+α2，α1-α2線性無關。
設α1,α2線性無關,β為任一向量,則α1+β,α2+β,一定線性無關,為什麼錯··謝謝
3樓：阿乘
既然β為任一向量，可令β=-α1，則α1+β=0向量，有0向量在向量組內一定線性相關。呵呵。
設向量組α1，α2，α3線性無關，證明α1，α1+α2，α1+α2+α3也線性無關
4樓：匿名使用者
這個不要反證, 直接證明就可以了.
證明: 設 k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0.
則（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3 =0因為α1，α2，α3線性無關
所以k1+k2+k3=0，
k2+k3=0，
k3=0，
因為齊次線性方程組的係數行列式
1 1 1
0 1 1
0 0 1
= 1 (不等於0)
所以方程組只有零解,
即 k1=k2=k3=0.
所以 α1，α1+α2，α1+α2+α3 線性無關 #
5樓：匿名使用者
假設後面α1，α1+α2，α1+α2+α3相關，那麼存在k1,k2,k3,不全為0，st k1*α1+k2*(α1+α2)+k3*(α1+α2+α3)=0.整理（k1+k2+k3)*α1+(k2+k3)*α2+k3*α3=0因為α1，α2，α3。所以k1+k2+k3=0，k2+k3=0，k3=0，於是k1=k2=k3=0與於假設矛盾
6樓：知道王神
a1＋（a1＋a2）＝（a1＋a2＋a3）
後面三個向量可以組成一個三角形的，所以沒有線性相關
7樓：春靜柏
火焰墨攻新服什麼時候開啊，沒塊玩啊？
設α1 α2 線性無關,α1+β,α2+β線性相關.證明向量β可以用α1 α2線性表示
8樓：匿名使用者
因為α1+β,α2+β線性相關所以存在k1,k2不全為0滿足 k1(α1+β)+k2(α2+β)=0所以 k1α1+k2α2+(k1+k2)β=0由於α1,α2線性無關所以 k1+k2≠0所以 β=-[k1/(k1+k2)]α1-[k2/(k1+k2)]α2令 c=-k1/(k1+k2),
9樓：光陰_年華
因為 線性相關
所以 存在不全為零k1,k2 使 k1*(α1+β)+k2*(α2+β)=0
整理得：（k1+k2）β=k1*α1+k2*α2且：α1 α2 線性無關
所以k1+k2不為零得證
若α1,α2線性無關，證明α1+α2、α1-α2也是線性無關的.
10樓：
解答如下：
假設α1+α2、α1-α2 線性相關
則存在不為0的常數b
使得α1+α2 = b（α1-α2）
所以α1+α2 = bα1 - bα2
因為α1,α2線性無關
所以α1,α2 的係數分別對應相等
b = 1，-b = 1
所以b不存在，也就是原假設不成立
所以α1+α2、α1-α2也是線性無關的
11樓：
證明：設x(α1+α2)+y(α1-α2)=0則(x+y)a1+(x-y)a2=0
而α1,α2線性無關
必有x+y=x-y=0
得x=y=0
∴α1+α2、α1-α2線性無關.
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