導數極限定理，證明導數極限定理（高數題）？

1樓：教育小百科是我

首先函式在一點處的導數和在該點處導函式的極限是兩個不同的概念，前者是直接用導數定義求得，後者是利用求導公式求出導函式的表示式後再求該點處的極限，兩者完全可以不相等。

例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0處的導數等於0，但其導函式在x=0處的極限不存在。但是在相當普遍的情況下，二者又是相等的，這個事實的本質上就是由導數極限定理所保證的。

導數極限定理是說：如果f(x)在x0的某領域內連續，在x0的去心鄰域內可導，且導函式在x0處的極限存在（等於a），則f(x)在x0處的導數也存在並且等於a。

這個定理的重要之處在於，不事先要求f在x0處可導，而根據導函式的極限存在就能推出在該點可導，也就是說，導函式如果在某點極限存在，那麼在該點導函式一定是連續的，而這正是一般函式所不具備的性質。

擴充套件資料：

1.利用函式的連續性求函式的極限（直接帶入即可）

如果是初等函式，且點在的定義區間內，那麼，因此計算當時的極限，只要計算對應的函式值就可以了。

2.利用有理化分子或分母求函式的極限

a.若含有，一般利用去根號

b.若含有，一般利用，去根號

3.利用兩個重要極限求函式的極限

4.利用無窮小的性質求函式的極限

性質1：有界函式與無窮小的乘積是無窮小

性質2：常數與無窮小的乘積是無窮小

性質3：有限個無窮小相加、相減及相乘仍舊無窮小

5.分段函式的極限

求分段函式的極限的充要條件是:

6.利用抓大頭準則求函式的極限

其中為非負整數.

7.利用洛必達法則求函式的極限

（可向，轉換）

對於未定式「」型，「」型的極限計算，洛必達法則是比較簡單快捷的方法。

8.利用定積分的定義求函式的極限

利用公式：

導數的求導法則

由基本函式的和、差、積、商或相互複合構成的函式的導函式則可以通過函式的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

1、求導的線性：對函式的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。

2、兩個函式的乘積的導函式：一導乘二+一乘二導（即②式）。

3、兩個函式的商的導函式也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。

4、如果有複合函式，則用鏈式法則求導。

注意：1、f'（x）<0是f（x）為減函式的充分不必要條件，不是充要條件。

求導方法（定義法）：

②求平均變化率；

③取極限，得導數。

2樓：一笑而過

你指的是這個定理嗎，這個定理在一般的數學分析的參考書裡應該有，我是從謝惠民的《數學分析習題課講義》上看到的。

3樓：最長世紀

華東師範數學分析125頁

證明導數極限定理（高數題）？ 50

4樓：mono教育

|設lim[xx0+] f(x)=a，lim[xx0-] f(x)=a

由lim[xx0+] f(x)=a，則對於bai任意ε>0，存在δ1>0，當00，當 -δ2x0，則0<|x-x0|<δ≤δ1成立，

若x0，存在δ>0，當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)-a|<ε成立

此時有：0

5樓：老黃知識共享

這種題我變得越來越在行了，呵呵，利用f(x)對兩個極限進行轉換位置，馬上可以證得。

6樓：房才賀撥

取ε＝｜a｜＆＃47；2，用極限定義對ε＝｜a｜＆＃47；2存在正數δ，當0＜｜x－x0｜＜δ時，有｜f（x）－a｜＜ε＝｜a｜＆＃47；2，所以｜f（x）｜＝｜f（x）－a＋a｜≥｜a｜－｜f（x）－a｜＞｜a｜＆＃47；2

可導函式的導函式不一定連續？為什麼？不是有導數極限定理嗎？ 10

7樓：demon陌

反例:函式f(x)：

當x不等於0時,f(x)=x^2*sin(1/x);

當x=0時，f(x)=0

這個函式在(-∞,+∞)處

處可導。

導數是f'(x):

當x不等於0時,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

當x=0時，f'(x)=lim=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0這一點處,f'(0)存在但f'(x)不連續。

8樓：數學劉哥

導函式可能有有振盪間斷點，這個不連續的有反例。

9樓：情感迷茫者的解讀人

可導函式的解析

希望對你有用

10樓：匿名使用者

函式可導，就說明導函式在該點有定義，所以只要可導，導函式就不存在無定義的點，

如果原函式連續，那麼導函式要麼連續，要麼含有第二類間斷點，不會是第一類

11樓：匿名使用者

您的理解有錯誤，連續不一定可微分，譬如絕對值y=|x|連續但不能微分，但是，一旦可微分則代表圖形必須連續。

12樓：海闊天空

一元函式是的。但是二元函式不是。

導數極限定理的詳細講解

13樓：假面