什麼是整數裂項,數學 裂項是什麼意思

2021-10-27 10:00:47 字數 6178 閱讀 7646

1樓:等風亦等你的貝

定義和作用

即在整數計算過程中,將一個整數算式**成幾個算式,用以跟其他算式進行抵消,以達到簡便計算的目的。

適用範圍

它的使用有嚴格限制,一般情況不使用,使用出來不一般。

它必須是等差數列裡相鄰幾項首尾相接相乘的算式,比如2×4+4×6+6×8或者2×4×6+4×6×8+6×8×10就可以用整數裂項的方法,但是像1×3+2×4+5×7或者2×4+6×8+8×10+12×14就不行。

計算方法

例1:計算1×2+2×3+3×4+......+98×99+99×100

這些算式是由兩個陣列成的乘法小算式累加組成的一大串的求和算式。乘法算式中的乘數是很有規律的:單個算式中,是相鄰的兩個自然數相乘;相鄰的兩個算式中,都有一個公因數。

整體來看這些乘數:1和2,2和3,3和4,98和99,99和100等,不看重複的數,他們恰好是一個首項為1,公差為1,末項為100,項數為100項的等差數列,相鄰的兩個算式由等差數列中某一項的前項與後項相乘所得。

對於這樣的有規律的算式,一般情況下,只要認真思辨,都是有解決之道的,比如提取公因數之類的。

裂項相消的方法

要進行抵消,必須是加減算式中,有相同的數或相同算式才能抵消,比如+5和-5,比如+(72×13)和-(72×13)都可以相互抵消。題目給的原式中是沒有相同算式的,更沒有減法算式,那怎麼辦?

沒有,可以人為創造嘛,但是注意不能改變原式的大小,所以這裡需要去構造相同的加減算式(這就是所謂的堅持創新而不違背自然法則)。

這些算式中的乘數都是連續的自然數,相鄰算式又有公因數,而要用抵消的方法,必須有減法出現,所以我們要創造相同算式就可以循著這個方向去試一試。

比如原式中的1×2與後面的2×3,前一個算式要與後一個算式有相同算式,必須給1×2乘上一個3,變成1×2×3,以此類推,2×3與3×4要有關係,也要給2×3乘上4變成2×3×4,但是這樣計算時候就改變了原式的大小,不符合邏輯,而且抵消要有減法出現,所以2×3×4要減去一個數,減去誰呢?我們剛剛創造了1×2×3,它也是比原式大的,可以試著減去它。

再往後,3×4乘上5,然後減去2×3×4,這樣它就與相鄰的算式關聯上了,這樣就形成一個新算式1×2×3+(2×3×4-1×2×3)+(3×4×5-2×3×4),好像有點眉目了,即每個算式分別乘上一個前項和後項然後相減,這樣相鄰算式間可以抵消了,後面的其他算式也是如此。

不過這還有個問題沒解決,每個括號裡的算式與原式對應的算式相比,都是原來的3倍,比如第二個算式,原式算的是2×3,這裡給到的算式是2×3×4-1×2×3,原來算的是一個2×3,現在算的是4個2×3減去1個2×3,也就是有3個2×3;不過幸運的是,每個算式都是這樣的規律,這好辦,每個算式除以3就行,這樣原式就可以迎刃而解了。

當然,為了書寫統一方便抵消,我們第一個算式1×2也要乘上一個前項0,這樣就能很好的找到每個算式**的規律,方便計算

下面是每個算式的**過程書寫:

1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3

2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3

3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3

98×99=(98×99×100-97×98×99)÷3

99×100=(99×100×101-98×99×100)÷3

將以上算式的等號左邊和右邊分別累加,左邊即為所求的算式,右邊括號裡面諸多項相互抵消,可以簡化為(99×100×101-0×1×2)÷3。

解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

=(99×100×101-0×1×2)÷3

=333300

2樓:匿名使用者

【整數裂項】對於較長的複雜算式,單單靠一般的運算順序和計算方法是很難求出結果的。如果算式中每一項的排列都是有規律的,那麼我們就要利用這個規律進行巧算和簡算。而裂項法就是一種行之有效的巧算和簡算方法。

通常的做法是:把算式中的每一項裂變成兩項的差,而且是每個裂變的後項(或前項)恰好與上個裂變的前項(或後項)相互抵消,從而達到“以短制長”的目的。現舉例說明:

計算1×2+2×3+3×4+4×5+…+98×99+99×100

分析:這個算式實際上可以看作是:等差數列1、2、3、4、5……98、99、100,先將所有的相鄰兩項分別相乘,再求所有乘積的和。

算式的特點概括為:數列公差為1,因數個數為2。

1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3)

2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)

3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3)

4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3)

…… 98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3)

99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3)

將以上算式的等號左邊和右邊分別累加,左邊即為所求的算式,右邊括號裡面諸多項相互抵消,可以簡化為(99×100×101-0×1×2)÷3。

解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100

=(99×100×101-0×1×2)÷3

=333300

3樓:小本帥得被人砍

整數裂項的本質就是抵消。

希望大家不要說什麼萬能公式了。

奧數課中每年都要人掉進了坑裡,

用公式刻舟求劍???!

4樓:實拍誠信優惠

田卓凱迪女朋友龐老森學託管

5樓:南凱定

這個很簡單。比如1/n(n+1)=1/n-1/n+1

6樓:g老師講

整數裂項法就是滿足式子中的數字成等差數列,然後將整數乘積化成兩個乘積差的形式,這個差也不是隨便乘一個數,而是要根據題目中各項數字的公差來確定的。

先看一道整數裂項的經典例題:

【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100

分析:題中計算式共有99個乘法式子相加,如果一個一個計算下來,恐怕一個下午就過去了,g老師告訴同學們,遇見這種複雜的計算式,一定是有規律的,數學重點考查的是思維。

能不能想辦法把乘法式子換成兩個數的差,再讓其中一些項抵消掉,就像分數裂項的形式,最後只剩下頭和尾呢?

1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;

2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;

3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;

……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;

規律是不是找著了?

原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3

=99x100x101÷3

=333300

在例1中,1x2和2x3這兩項,1與2,2與3的的差都是1,我們就在1x2這一項乘以(2+1),再減去(1-1)x1x2;2x3這一項,也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……這樣就剛好可以前後項互相抵消,然後再除以後延與前伸的差[(3+1)-(2-1)]。

整數裂項法應用:

式中各項數字成等差數列,將各項後延一位,減去前伸一位,再除以後延與前伸的差。

【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99

分析:算式中各個項中數字之差都是2,滿足整數裂項條件,後延一位,減去前伸一位,再除以後延與前伸的差6。

思考:1x3能不能採用整數裂項法呢?

原式=1x3+(3x5x7-1x3x5+5x7x9-3x5x7+……+97x99x101-95x97x99)÷6

=1x3+(97x99x101-1x3x5)÷6

=161651

g老師為什麼把1x3單獨列出來呢?

一般的,整數裂項向前伸展時,取的伸展數小於0,就需要取負數,這時候把該項摘出來單列會更加簡便,而且避免將正負號混淆弄錯。

數學:裂項是什麼意思

7樓:這個世界確實很有趣

裂項法裂項法求和

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解,然後重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的. 通項分解(裂項)如:

(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

(5) n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.

解:設 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂項)

則 sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂項求和)

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

小結:此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意: 餘下的項具有如下的特點

1餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2餘下的項前後的正負性是相反的。

一、基本概念

1、 數列的定義及表示方法:按一定次序排列成的一列數叫數列

2、 數列的項an與項數n

3、 按照數列的項數來分,分為有窮數列與無窮數列

4、 按照項的增減規律分為:遞增數列,遞減數列,擺動數列和常數列

5、 數列的通項公式an

6、 數列的前n項和公式sn

7、 等差數列、公差d、等差數列的結構:an=a1+(n-1)d

8、 等比數列、公比q、等比數列的結構:an=a1·q^(n-1)

二、基本公式:

9、一般數列的通項an與前n項和sn的關係:an= sn-sn-1

10、等差數列的通項公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項)

當d≠0時,an是關於n的一次式;當d=0時,an是一個常數。

11、等差數列的前n項和公式:sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d

當d≠0時,sn是關於n的二次式且常數項為0;當d=0時(a1≠0),sn=na1是關於n的正比例式。

12、等比數列的通項公式: an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)

(其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0)

13、等比數列的前n項和公式:當q=1時,sn=n a1 (是關於n的正比例式);

當q≠1時,sn=a1·(q^n-1)/(q-1)

三、有關等差、等比數列的結論

14、等差數列的任意連續m項的和構成的數列sm、s2m-sm、s3m-s2m、s4m - s3m、……仍為等差數列。

15、等差數列中,若m+n=p+q,則 am+an=ap+aq

16、等比數列中,若m+n=p+q,則 am·an=ap·aq

17、等比數列的任意連續m項的和構成的數列sm、s2m-sm、s3m-s2m、s4m - s3m、……仍為等比數列。

18、兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列。

19、兩個等比數列與的積、商、倒陣列成的數列

、 、 仍為等比數列。

20、等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

21、等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。

22、三個數成等差的設法:a-d,a,a+d;

四個數成等差的設法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三個數成等比的設法:a/q,a,aq;

四個數成等比的錯誤設法:a/q3,a/q,aq,aq3

四、數列求和的常用方法:

公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)

24、分組法求數列的和:如an=2n+3n

25、錯位相減法求和:如an=n·2^n

26、裂項法求和:如an=1/n(n+1)

27、倒序相加法求和:如an= n

28、求數列的最大、最小項的方法:

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

29、在等差數列 中,有關sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解:

(1)當 a1>0,d<0時,滿足的項數m使得sm取最大值.

(2)當 a1<0,d>0時,滿足的項數m使得sm取最小值.

在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

參考資料:http://baike.baidu.com/view/1101236.htm

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