1樓：枚承載
t：0→2π
ds=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt=√[a²(1-cost)²+a²sin²t]dt=a√(2-2cost)dt=a√[4sin²(t/2)]dt=2asin(t/2)dt∫y
ds=∫[0→2π]
2a²(1-cost)sin(t/2)
dt=4a²∫[0→2π]
sin³(t/2)
dt=8a²∫[0→2π]
sin³(t/2)
d(t/2)
=-8a²∫[0→2π]
sin²(t/2)
d[cos(t/2)]
=-8a²∫[0→2π]
[1-cos²(t/2)]
d[cos(t/2)]
=-8a²[cos(t/2)
-(1/3)cos³(t/2)]
|[0→2π]
=-8a²(-1
-1/3-1
-1/3)
=32a²/3
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2樓：匿名使用者
解：擺線一拱的面積=∫<0,2π>a^2(1-cost)^2dt=a^2∫<0,2π>[3/2-2cost+cos(2t)/4]dt=a^2[3t/2-2sint+sin(2t)/4]│<0,2π>=a^2(3π)
=3πa^2。
求由擺線x＝a（t-sint）,y=a(1-cost)的一拱(0≦t≦2π)與x軸所圍成的圖形面積
3樓：匿名使用者
答案為3πa²
解題過程如下：
=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）
又∵x=a(t-sint)
∴dx=a(1-cost)dt
s=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt
=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt
=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt
=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)
=3πa²
擺線具有如下性質：
1．它的長度等於旋轉圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是，它的長度是 一個不依賴於π的有理數。
2．在弧線下的面積，是旋轉圓面積的三倍。
3．圓上描出擺線的那個點，具有不同的速度——事實上，在特定的地方它甚至是靜止的。
4．當彈子從一個擺線形狀的容器的不同點放開時，它們會同時到達底部。
x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r為圓的半徑， t是圓的半徑所經過的弧度（滾動角），當t由0變到2π時，動點就畫出了擺線的一支，稱為一拱。
4樓：不是苦瓜是什麼
|s=∫|y|dx
=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥e69da5e887aa62616964757a686964616f313334313532350,其中a>0）
又∵x=a(t-sint)
∴dx=a(1-cost)dt
s=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt
=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt
=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt
=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)
=3πa²
解題思路：
先觀察x=a(t-sint) 在t∈[0,2π]單調增，從而很容易得出x取值範圍是[0,2πa]。
再看y=a(1-cost) 在t∈[0,2π]先增後減，分界點在t=π，在t=0和t=2π時，y的值都是0。
根據以上所說，就可以畫出大致的圖形啦，注意圖形需要經過(0,0),(2πa,0)，且在x∈[0,2πa]是先上升再下降，即可。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c
14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c
16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;
17) ∫shx dx=chx+c;
18) ∫chx dx=shx+c;
19) ∫thx dx=ln(chx)+c;
5樓：匿名使用者
符號不好輸入，直接上圖~
求大神解擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱與橫座標軸所圍圖形的面積
6樓：秦桑
解法如下圖所示：
拓展資料：
定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。
這裡應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函式表示式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關係都沒有。
一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
7樓：糖糖小小個
解擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱與橫座標軸所圍圖形的面積如圖：
8樓：時光時光墾丁丁
在我提交之前，發現尚理
已經正確地完成了本題，簡潔，思路清晰。樓主可以結題了。
既然我打了字，也截了圖。就發上來吧！
尚理用的方法是(sinx)^n[0,/2]上的定積分公式。
我所有積分全部用了對稱與座標原點的區間上的奇函式和偶函式的積分性質。
9樓：
設0≤t≤2π，則面積a=∫(0到2π) a(1-cost)d(a(t-sint))=∫(0到2π) a^2(1-cost)^2dt=∫(0到2π) a^2(1-2cost+(cost)^2)dt=∫(0到2π) a^2(3/2-2cost+1/2*cos2t)dt=a^2*3/2*2π＝3πa^2。
求解一道高數題 ，求由擺線x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2∏) 與橫軸所圍圖形的面積 要過程 5
10樓：
由擺線x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 與橫軸所圍圖形的面積為3π*a^2。
解：根據定積分求面積公式，以x為積分變數，
可得擺線的一拱與橫軸所圍圖形的面積s為，
s=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))
=∫a^2(1 -cost)^2dt
又由於擺線的一拱內，0≤t≤2π，所以面積為，
s=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)(1+cos2t)dt
=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt
=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)
=3π*a^2
擴充套件資料：
1、三角函式之間的變換關係
(cost)^2+(sint)^2=1，cos2t=2(cost)^2-1=1-2(sint)^2，sin2t=2sintcost
2、定積分∫(a,b)f(x)dx的性質
（1）當a=b時，∫(a,b)f(x)dx=0。
（2）常數可以提到積分號前。即∫(a,b)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx。
（3）∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx。
3、定積分的應用
（1）解決求曲邊圖形的面積問題
通過圖形邊界求出x，y的區間，然後在區間中以x或者y為積分變數，進行面積的計算。
（2）求變速直線運動的路程
做變速直線運動的物體經過的路程s，等於其速度函式v=v(t) (v(t)≥0)在時間區間[a,b]上的定積分。
11樓：兔寶寶蹦蹦
樓上的思路基本正確，積分時要將y,x轉換為用t表示的函式。
我補充一下過程吧：
s=∫|y|dx
=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）
又∵x=a(t-sint)
∴dx=a(1-cost)dt
s=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)=3πa²
12樓：羊歡草長
面積=∫ydx，積分割槽間對應與0≤t≤2∏時x的範圍即x從0到2πa（這個積分割槽間沒用），然後將x=a(t - sint),y=a(1 -cost)代入，面積=∫a(1 -cost)da(t - sint)，t的範圍從0到2π，積分即可，最後結果3πa的平方。
高數～求由擺線x＝a（t-sint）,y=a(1-cost)的一拱(0≦t≦2π)與橫軸所圍成的圖
13樓：116貝貝愛
^^^解題過程如下：
s=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))
=∫a^2(1 -cost)^2dt
s=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt
=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt
=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)
=3π*a^2
性質：已知導數求原函式。若f′(x)=f(x)，那麼[f(x)+c]′=f(x).
(c∈r c為常數).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到f(x)，因為f(x)+c的導數也是f(x)（c是任意常數）。
設函式f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各區間的長度依次是：△x1=x1-x0，在每個子區間(xi-1,xi]中任取一點ξi（1,2,...
,n）。
如果當λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函式f(x) 在區間[a,b]的定積分。f(x)在區間[a,b]上可積。其中：
a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a, b]叫做積分割槽間，函式f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx 叫做被積表示式。
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