1樓：2b青年
一個向量在另一個向量上的射影的長
1.向量的內積 即 向量的的數量積
定義：兩個非零向量的夾角記為〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
2.向量的外積 即 向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：
∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
兩個空間向量內積的幾何意義是什麼？
2樓：點點外婆
一個向量在另一個向量上的射影的長
3樓：
一個向量在另一個向量上的作用。可以用力學的觀點來看，會比較好理解。
向量內積的幾何意義是什麼
4樓：電燈劍客
一個向量a和一個單位向量e的內積的幾何意義是a在e方向的投影向量。
向量數量積的幾何意義是什麼？
5樓：cy辭言
向量數量積的幾何意義：一個向量在另一個向量上的投影。
定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積
兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)
若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知兩個向量a和b,它們的夾角為c,則a的模乘以b的模再乘以c的餘弦稱為a與b的數量積(又稱內積、點積。)
即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積
擴充套件內容：
向量積性質
幾何意義及其運用
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為稜的平行六面體的體積。
[1]
代數規則
1.反交換律：a×b= -b×a
2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c
3.與標量乘法相容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的 r3 構成了一個李代數。
6.兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
這是一個著名的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成「bac - cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分運算元不成立。
這裡給出一個和梯度相關的一個情形：
這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是：
這是一個在四元數代數中範數乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k；
j×k=i ；
k×i=j ；
通過這些規則，兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；
則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i+ a2j+ a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：
計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。 [2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質：
雙線性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；
反交換律：x×y+y×x= 0；
同時與 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；
拉格朗日恆等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；
不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
6樓：匿名使用者
簡單講，倆個平面向量的數量積，等於向量1在向量2上的投影長度乘以向量2的長度。結果是一個數
7樓：毛果芽
定義：向量的點積又稱數量積，是將兩個向量對應位一一相乘之後再求和所得的數值。
對於向量a和向量b：
點積為一標量。
幾何意義
點積可以用來求兩個向量之間的夾角。
當兩向量垂直時，點積為0。
當兩非零向量間的夾角<90度時，點積大於0。
當兩非零向量間的夾角》90度時，點積小於0。
向量的點積在與圖形學相關的計算機程式設計中應用非常廣泛。
8樓：匿名使用者
物理上可表示力所做的功，即移動方向上的力的大小與位移的距離的乘積。
數學向量內積單位向量與外積單位向量的幾何意義分別是什麼？
9樓：長瀨綿秋
向量內積a.b代表兩個向量對應座標值相乘後相加，得到的是一個數，數值上等於兩向量長度積乘以夾角的餘弦
幾何上的應用：可以求兩向量夾角；如果兩向量內積為零，說明兩向量垂直；一個向量對自己內積開方後是該向量長度
向量外積a×b得到的是一個向量，一個行列式，以三維向量為例，等於
|i j k |
|a1 a2 a3|
|b1 b2 b3|
長度數值上等於兩向量長度積乘以夾角的正弦，方向用右手螺旋定則確定，物理上經常應用於求電磁力
幾何上的應用：兩向量外積等於以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積，方向為兩向量所在平面的法線方向；外積為0，說明兩向量平行
10樓：
網友長瀨綿秋的論述基本沒錯，你可以採納他的答案，
補充：三個向量的混合積的絕對值，幾何意義是平行六面體的體積，
向量內積的幾何意義，誰能畫個圖給講講
11樓：匿名使用者
向量的內積就是投影，可以理解為a線投影在b線的長度 與b線長度的乘積。
內積是什麼？
12樓：匿名使用者
如果有兩個向量：
a:(x1,x2,...,xn)
b:(y1,y2,...,yn)
那麼a和b的內積為：
x1y1+x2y2+...+xnyn
就是對應項相乘在求和，算出來是一個數
13樓：神遊飛天
內積在有限維實內積空間裡的度量矩陣個對稱正定
雙線性型
內積在有限維復內積空間裡的度量矩陣是hermite矩陣，是
一個半線性型：對於第一個向量線性，第二個向量共軛線性（或者對於第一個向量共軛線性，第二個向量線性）
說白了，設域f上的線性空間v，狹義內積其實就是從線性空間(v,v)->f的對映，滿足4條式子即可，且該線性空間具有長度，角度，距離等概念。
廣義內積：域f上線性空間v上的一個對稱/反對稱雙線性型函式f稱為v上的一個內積(無正定性，沒有長度，角度，距離等概念)，指定了對稱雙線性型的內積的線性空間叫做正交空間；指定了反對稱雙線性型的線性空間叫做辛空間
14樓：縱橫豎屏
內積一般指點積。
在數學中，數量積（dot product; scalar product，也稱為點積）是接受在實數r上的兩個向量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標準內積。
兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義為：
a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
使用矩陣乘法並把（縱列）向量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為：
a·b=b*a^t，這裡的a^t指示矩陣a的轉置。
擴充套件資料:
運算律
應用：
在生產生活中，點積同樣應用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。
向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強。
物理中，點積可以用來計算合力和功。若b為單位向量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。
計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩向量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。
向量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一，此方法還被用於動畫渲染（animation-rendering）。
15樓：尋魚之樂
[x,y]=求和xy
兩個向量能定義乘法嗎?在什麼空間定義,該如何定義?有什麼幾何意義?
16樓：
向量有內積和外積兩種乘法形式，在物理上應用的很多，內積主要用於做功、環量、通量的計算之類的，外積在角速度、角動量、磁場力等的計算中會用到，反應空間的性質。 高二數學課本上有對內積的簡單介紹，高考必考題。。。 要想更深入的瞭解的話可以看看大一的教材線性代數，講到了高維向量、各種空間，比較抽象，但是巨有用，樓主有興趣可以看看~ 希望樓主學習愉快~
為什麼向量內積等於向量模的積乘夾角餘弦，內積的乘積和表示的含義是什麼？
17樓：牛皮哄哄大營
不是不能證明問題，這是人為定義的一個「工具」。這個工具很好用，相當於把兩個向量放在了一條線上，然後兩者長度相乘。就像物理力的合成，不同方向的力合在了一起。
並不像三大中值定理，是一步一步演化來的。
18樓：使用者名稱十分難取
在數學書中，講述內積（或稱點積）時，一般都會講你提出的問題，我手寫傳圖說明，數學公式無法打字，**發自
ipad ，手機上可能糊塗，在電腦屏或ipad上看。
19樓：螃蟹遛狗
如果學了線代會好理解些
a向量與b矩陣 ba就是a的基向量做線性變化（與向量相乘）得到向量如果a向量和b向量 ba就是 a的x做點變換 y做點變換 最後的和也是點
一個平面可以有方向做xy變換 兩個向量相乘（向量只有一個方向，向量相乘就像向量相加前要是同方向的力）就縮到一個點了
多重積分的幾何意義是什麼積分！！幾何意義是什麼？
二重是質量 面密度乘面積 三重積分是流體質量 體積乘密度 二重積分和多重積分兩者差不多,形式上是一個數值函式乘以微元 面積或體積 再積分.所以可以用它們求質量,等等.只要是已知被積區域每點對應一個數值,而且需要求整個被積區域的這個數值的和 就是積分 就用二重或多重積分.計算方法就是拆成幾個普通定積分...
已知向量a向量b是不共線的兩個向量,向量AB x向量a 向量
設a x,y b x y 1 向量的加法 向量加法的運算律 交換律 a b b a 結合律 a b c a b c 2 向量的減法 如果a b是互為相反的向量,那麼a b,b a,a b 0.0的反向量為0 ab ac cb.即 共同起點,指向被減 a x,y b x y 則 a b x x y y...
線性代數a,b是兩個向量,那麼Cova,b是什麼意思
協方差啊 先根據期望e a e b 求方差d a d b d a b d a 回d b 2cov a,b d a b d a d b 2cov a,b 兩個公式答就出來了 協方差也就是指兩個向量之間的有多相關 是求他們相關係數的一個重要的量 lz不是學概率的吧?呵呵,瞭解這麼多差不多了哦 是a b的...