1樓：匿名使用者
證明：先就圓的周長（2πr）也正好是圓的面積（πr^2）的關於r導數證明.
設有一個圓的半徑為r，另一個與它同心的圓的半徑為r+△r.
先看兩個同心圓組成的圓帶，它的面積是π(r+△r)^2-πr^2.當△r相當小時，該圓帶近似為寬為△r的長方形條，其長度近似(π(r+△r)^2-πr^2)/△r.對△r求極限.
lim(π(r+△r)^2-πr^2)/△r就是半徑為r的圓的周長.
而：lim(π(r+△r)^2-πr^2)/△r=πr^2對r的導數=2πr.
關於體積也可以像上面一樣類似的證明，不過換成同心球體就可以了.
受你的啟發，如果把正方形的半邊長當成半徑（即正方形的中心到每邊的距離）。那麼這個發現對正方形、正方體對成立.
2樓：
是微積分的原理。你可以想象一下，把一個球體看成是由無數層的不同半徑的球面一層層糊起來的，就像是洋蔥。這一層層的球面沿著半徑方向疊加在一起就形成一個球，也就是面積沿著半徑方向積分即為體積。
故表面積為體積的倒數。希望能幫到你~~
3樓：孫梅浩
用微積分解釋：
n維球的表面積其實就是n-1維球的體積。維數加1後的體積實際上就是對新的一維求積分。
所以求一次導（也就是一次微分）就降一維。
4樓：匿名使用者
用微積分微元法的觀點看，面積就是線段的積分，體積就是面積的積分。例如球的體積可以看成以圓心為中心，有無數的大小不同的球殼（也就是面積）向外擴充套件，即面積公式在0到r上以r為積分變數的定積分。
5樓：匿名使用者
要想知道原因，可以看看大學高等數學課本里的積分，學了這你就知道原因了
球表面積（4πr^2)與體積（4/3πr^3)的具體推導過程
6樓：匿名使用者
推導圓球的體積和表面
積計算公式的過程是這樣的：
假設圓球的半徑和圓柱的底面半徑相等，都為r，則圓柱的高是2r，或者是d，再用字母和符號表示出圓柱的體積和表面積計算公式，然後分別乘 ，就得出圓球的體積和表面積，最後進行整理。具體過程如下：
v圓柱=πr2×2r
=πr2×（r+r）
=πr3×2
v球=πr3×2×
= πr3
s圓柱=πr2×2+πd×d
=πdr+πdd
=(r+d) πd
=3r×2πr
=6πr2
s球=6πr2×
=4πr2
這樣，圓球的體積和表面積的計算公式就都得出來了
球體的體積公式v==4/3πr^3，表面積s=4πr^2，我發現啊，體積求導就是表面積﹋o﹋ 10
7樓：我不是他舅
圓面積s=πr²
求導是周長
不過這應該只是巧合
8樓：匿名使用者
導數是溝通維度空間的量。二維的是表面積，導數求得的量就是三維的體積 甚至在大學裡還可以推匯出四維五維
9樓：落驛
球體體積求導本來就是表面積，這個是可以證明的
10樓：匿名使用者
圓的面積公式s=πr²，周長公式c=2πr，對面積公式求導後就是周長公式
已知半徑為r的球的體積為v=4/3πr^3,利用導數的定義證明球的表面積為s=4πr^2
11樓：匿名使用者
δv=f(r+δr)-f(r)=4/3π(r+δr^)-3,4/3πr^3=4/3π[(r+δr)^3-r^3]=4/3π(3r^2*δr+3r*δr^2+δr^3)
s=limδv/δr=4/3π(3r^2+3r*δr+δr^2)=4πr^2
δr->0證畢
12樓：匿名使用者
體積就是單位面積上半徑的累積，所以直接s=dv/dr
算一下就是 s=4πr^2
球的表面積公式s=4πr∧2是如何得來的，原理是什麼？
13樓：匿名使用者
先證明球的體積公式.
看一個半徑為r的半球（一個球體的上半部分）,和一個底面積為r高為r的圓柱,中間掏空一個底面積為r,高為r的倒立圓錐（尖朝下）.
比較這兩個幾何體.任意距底面高度為h處的水平橫截面.
根據勾股定理,球截面面積為π ×（r^2-h^2）,掏空後的圓柱截面積為：π ×r^2-π ×h^2
任意截面面積相等,所以這兩個幾何體體積相等.半球體=π ×r^3-π ×r^3/3=(2/3)*π ×r^3
球體積=(4/3)*π ×r^3
再證表面積公式.
把球看成無數個錐體,每個錐體底面積在球表面,尖尖在圓心.組成的一個球(就象切西瓜切成無數塊)
每個錐體的底面各為si,高為r.體積為(1/3)*si*r
全部加起來,v=(1/3)*r*(s1+s2+s3+s4+……)=（1/3）*r*s
故s=3v/r=4π ×r^2
球面總面積為什麼是4πr^2
14樓：完美主
讓圓y＝√(r^2－x^2)繞copyx軸旋轉，得到球體x^2+y^2+z^2≤r^2。求球的
表面積。
以x為積分變數，積分限是[－r，r]。
在[－r，r]上任取一個子區間[x，x+△x]，這一段圓弧繞x軸得到的球上部分的面積近似為2π×y×ds，ds是弧長。
所以球的表面積s＝∫<－r，r>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到s＝4πr^2
15樓：雪糕熱了
因為地球是近似球體，球體的表面積就是4π r^2 。
請問圓球表面積為什麼是4πr²（求證明過程）？
16樓：穿越止戰之殤
用^表示平方把一個半徑為r的球的上半球切成n份 每份等高並且把每份看成一個圓柱，其中半徑等於其底面圓半徑則從下到上第k個圓柱的側面積s(k)=2πr(k)*h其中h=r/n r(k)=根號[r^-(kh)^]s(k)=根號[r^-(kr/n)^]*2πr/n =2πr^*根號[1/n^-(k/n^)^]則 s(1)+s(2)+……+s(n) 當 n 取極限（無窮大）的時候就是半球表面積2πr^乘以2就是整個球的表面積 4πr^
17樓：匿名使用者
這需要用到高等數學知識。
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