1樓：匿名使用者
（1）背景：尤拉公式的背後是一門新的幾何學，這種新的幾何學只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮圖形尺寸大小，這就是由萊布尼茲和尤拉共同奠基的「橡皮膜上的幾何學」（位置幾何學），如今這門學科已經發展成數學的一個重要的分支——拓撲學。
（2）歷史：有關凸多面體最有趣的定理之一是尤拉公式「v-e+f=2」，其實大約在2023年笛卡爾就早已發現了它。尤拉在2023年獨立地發現了這個公式，並於2023年發表了它。
由於笛卡爾的研究到2023年才被人們發現，所以這個定理就稱為尤拉公式而不是笛卡爾公式。
尤拉,出生在瑞士的巴塞爾（basel）城，13歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數學家約翰·伯努利（johann bernoulli，1667-2023年）的精心指導．
尤拉在數學上的建樹很多，對著名的哥尼斯堡七橋問題的解答開創了圖論的研究。尤拉還發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數v、稜數e、面數f之間總有v-e+f=2這個關係。v-e+f 被稱為尤拉示性數，成為拓撲學的基礎概念。
以尤拉的名字命名的數學公式、定理等在數學書籍中隨處可見, 與此同時，他還在物理、天文、建築以至**、哲學方面取得了輝煌的成就。尤拉還創設了許多數學符號，例如π（2023年），i（2023年），e（2023年），sin和cos（2023年），tg（2023年），△x（2023年），∑（2023年），f(x)（2023年)等。
2023年，年僅26歲的尤拉擔任了彼得堡科學院數學教授．2023年，尤拉解決了一個天文學的難題（計算慧星軌道），這個問題經幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決，而尤拉卻用自己發明的方法，三天便完成了．然而過度的工作使他得了眼病，並且不幸右眼失明瞭，這時他才28歲．
尤拉的一生，是為數學發展而奮鬥的一生，他那傑出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮鬥精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．
尤拉公式有4條
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）複數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=r＾2-2rr
（4）多面體
設v為頂點數，e為稜數，是面數，則
v-e+f=2-2p
p為尤拉示性數，例如
p=0 的多面體叫第零類多面體
p=1 的多面體叫第一類多面體
等等 其實尤拉公式是有4個的，上面說的都是多面體的公式
2樓：千分一曉生
簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關係
v+f-e=2
3樓：開始懵了
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的尤拉示性數。
4樓：我不是他舅
頂點數v、面數f及稜數e
則v+f-e=2
5樓：qq123貓
尤拉公式有多種運用。
在多面體中的運用:
簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關係v+f-e=2
這個公式叫尤拉公式。
尤拉公式是什麼?
6樓：煙妮載樂雙
尤拉公式是指以尤拉命名的諸多公式。其中最著名的有，複變函式中的尤拉幅角公式，即將複數、指數函式與三角函式聯絡起來。拓撲學中的尤拉多面體公式。
初等數論中的尤拉函式公式。尤拉公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律，它只適用於簡單多面體。常用的尤拉公式有複數函式e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=r＾2-2rr
，物理學公式f=fe^ka等。
複變函式
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。[2]
尤拉公式
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1,
(±i)^3=∓i,
(±i)^4=1
……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
恆等式e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數：
自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」
那麼這個公式的證明就很簡單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那麼這裡的π就是x，那麼
e^iπ=cosπ+isinπ
=-1那麼e^iπ+1=0
這個公式實際上是前面公式的一個應用。
分式分式裡的尤拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
三角公式
三角形中的尤拉公式：
設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=r＾2-2rr
拓撲學說
拓撲學裡的尤拉公式：
拓撲學 v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的尤拉示性數。
如果p可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼x(p)=2，如果p同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼x(p)=2-2h。[3]
x(p)叫做p的尤拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。
初等數論
初等數論裡的尤拉公式：
尤拉φ函式：φ(n)是所有小於n的正整數裡，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
尤拉證明了下面這個式子：
如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
物理學尤拉公式應用
眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，尤拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關係。現將尤拉這個頗有價值的公式列在這裡：
f=fe^ka
其中，f表示我們施加的力，f表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦係數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。
此外還有很多著名定理都以尤拉的名字命名。
7樓：潘蓓庫飛沉
事實上，尤拉公式有平面與空間兩個部分：
空間中的尤拉公式
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的尤拉示性數。
如果p可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼x(p)=2，如果p同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼x(p)=2-2h。
x(p)叫做p的尤拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。
在多面體中的運用:
簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關係
這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。
平面上的尤拉公式
，其中v是圖形p的頂點個數，f是圖形p內的區域數，e是圖形的邊數。
在非簡單多面體中，歐位公式的形式為：
其中h指的是平面上不完整的個數，而c指的是獨立的多面體的個數，g指的是多面體被貫穿的個數。
證明（1） 把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2） 去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設f′，e′和v′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明f′-e′+v′=1。
（3） 對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候，f′-e′+v′的值仍然沒有變。
有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4） 如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒有變。
（5） 如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒有變。
（6） 這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。
（7） 因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8） 如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。
即成立，於是尤拉公式：
得證。[2]
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