1樓：
24.1 圓
24.1.1 圓
•連線圓上任意兩點的線段叫做弦。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。
24.1.2 垂直於弦的直徑
•垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦的直徑垂直於弦且平分弦所對的兩條弧。
24.1.3 弧、弦、圓心角
1、頂點在圓心的角叫做圓心角。
2、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
推論1：相等的弧所對的弦相等，所對的圓心角也相等。
推論2：相等的弦所對的弧相等，所對的圓心角也相等。
24.1.4 圓周角
1、頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
2、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，且都等於這條弧所對的圓心角的一半。
推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那麼它們所對的弧也一定相等。
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
3、如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，那麼這個多邊形就叫做圓內接多邊形，這個圓就叫做多邊形的外接圓。
4、圓內接四邊形的對角互補。
24.2 點、直線、圓和圓的位置關係
24.2.1 點和圓的位置關係
1、若⊙o的半徑為r，點p到圓心的距離為d，則有：
點p在圓外 <=> d>r；點p在圓上 <=> d=r；點p在圓內 <=> d（「<=>」讀作「等價於」，表示可以從符號「<=>」的一端得到另一端）
2、經過已知的兩個點的圓的圓心在這兩個點的連線段的垂直平分線上。
3、不在同一直線上的三個點確定一個圓，確定方法：作三點的連線段的其中兩條的垂直平分線，交點即為圓心，以圓心到其中一點的距離作為半徑畫圓即可。
4、若三角形的三個頂點在同一個圓上，那麼這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。
5、假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，則假設不正確，故原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
24.2.2 直線和圓的位置關係
1、當直線與圓有兩個公共點時，叫做這條直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線。
當有一個公共點時，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。
當沒有公共點時，叫做直線與圓相離。
2、若⊙o的半徑為r，直線l到圓心的距離為d，則有：
直線l與圓相交 <=> dd=r；直線l與圓相離 <=> d>r。
3、切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線就是圓的切線。
切線的性質定理：圓的切線垂直於過切點的半徑。
4、經過圓外一點作圓的切線，這個點到切點的長度叫做這點到圓的切線長。
5、切線長定理：從圓外一點可以引出兩條切線，它們的切線長相等，這個點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。
6、與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條邊的角平分線的交點，叫做三角形的內心。確定內切圓方法：作出角平分線，以交點為圓心，以它到任意一邊的距離為半徑作圓即可。
24.2.3 圓和圓的位置關係
（1-3條內容見最下面的**）
1、如果兩個圓沒有公共點，就叫做這兩個圓相離（如(1)(5)(6)）。
其中(1)叫做外離，(5)(6)叫做內含，(6)中兩圓同心是內含的一種特殊情形。
2、如果兩個圓只有一個公共點，就叫做這兩個圓相切（如(2)(4)）。
其中(2)叫做外切，(4)叫做內切。
3、如果兩個圓有兩個公共點，就叫做這兩個圓相交（如(3)）。
4、若兩個圓的半徑分別為r1、r2（r1>r2），圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則
外離 d>r1+r2 內含 d外切 d=r1+r2 內切 d=r1-r2
相交 r1-r224.3 正多邊形和圓
1、將一個圓分成n段相等的弧，再將弧的端點順次連線，即可得到圓內接正n邊形，這個圓就叫做正n邊形的外接圓。
2、正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心，其外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做中心角，中心到正多邊形任意一邊的距離叫做邊心距。
3、畫邊長為r的正六邊形的方法：
①以r為半徑作圓，用量角器畫出一個(360°÷6=)60°的圓心角，它對著一段弧，在圓上依次擷取與它相等的弧，得到圓的6等分點，順次連線即可。
②以r為半徑作圓，找圓上一點依次擷取等於r的弦，便能六等分圓，連線分點即可。
4、尺規畫正方形的方法：在圓內畫兩條互相垂直的直徑，便能四等分圓，連線分點即可。
正多邊形補充知識：
1、正多邊形都有內切圓和外接圓，這兩個圓是同心圓（即垂直平分線、角平分線的交點）。
2、設正n邊形的半徑為r，邊心距為r，邊長為a，周長為c，面積為s，有：
（1）a=2r•sin (180°/n)
（2）r=r•cos (180°/n)
（3）s=1/2r•a•n=1/2c•r
3、每一個正多邊形都是軸對稱圖形，當邊數為偶數時，它還是中心對稱圖形。
24.4 弧長和扇形面積
1、n°的圓心角所對的弧長公式：l=nπr/180（推導過程：360°所對的弧長為2πr）
2、由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。
3、圓心角為n°的扇形面積公式：s=nπr²/360（推導過程：360°所對的扇形面積為πr2）
4、比較弧長公式和扇形面積公式，可以得到另一個扇形面積公式：s=1/2×lr（l為弧長）
5、連線圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。
6、圓錐的側面積公式：s側=1/2×cl=πrl，圓錐全面積公式：s=πr²+πrl=πr(r+l)
數學活動——四點共圓的條件：
1、把四個點連成四邊形，對角互補。
2、把四個點連成共底邊的兩個三角形，兩個頂角為直角，斜邊即為直徑。
3、四個點到某一定點的距離相等，定點即為圓心。
4、作任意三個點的連線段的垂直平分線，有交點，該點即為圓心。
修改：文字中等價符號顯示不出的問題<=>
2樓：
1.圓心角及它所對的弧,弦,弦心距之間的關係由定理的推論說的很明白.即在同圓和等圓中,兩個圓角角它所以的弧,弦,弦心距有一組量相等,基它各組量也分別相同.
闢如說:若證明弧相等,即可證兩條弧所對的圓心角相等,也可證弦相等.
2.圓周角定理的兩個推論很重要.
圓周角定理:
1. 一條弧上的圓周角等於它所對的圓心角的一半.
推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等,在同圓和等圓中,相等的圓周角也相等.此推論是說明在同圓和等圓中,弧等,圓周角等,圓周角相等它們所對的弧相等.
在證明中,往往從角找它所對的弧,在從此弧找另一個圓周角,從而證兩個圓周角相等.
推論2:直徑(半圓)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.
這個推論一段是若已知是直徑,通常做直徑上的圓周角,證得是直角.
3樓：匿名使用者
九年級數學圓這一章的全部知識點
4樓：匿名使用者
第四章：《圓》
一、知識回顧
圓的周長： c=2πr或c=πd 、圓的面積：s=πr²圓環面積計
算方法：s=πr² -πr²或s=π（r² - r²）(r是大圓半徑，r是小圓半徑）
三、知識要點
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
固定的端點o為圓心。連線圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。
2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內 點在圓內；
2、點在圓上 點在圓上；
3、點在圓外 點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離 無交點；
2、直線與圓相切 有一個交點；
3、直線與圓相交 有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2） 有一個交點 ；
相交（圖3） 有兩個交點 ；
內切（圖4） 有一個交點 ；
內含（圖5）
無交點；五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑 ②
③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧六、圓心角定理
頂點到圓心的角，叫圓心角。
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑 或∵
∴ ∴是直徑
推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
∵四邊形是內接四邊形
∴ 九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
∴是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後一個。
十、切線長定理
切線長定理：
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線∴平分
十一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
∴（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，
∴（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
∴ （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線∴十
二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
∴垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；
（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積
2、圓柱：
（1）a圓柱側面圖
=b圓柱的體積：
（2）a圓錐側面圖
=b圓錐的體積：
九年級數學關於圓的全部概念
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