1樓：匿名使用者
第一章 有理數總複習
一、知識歸納：
1、數軸是一條規定了原點、方向、長度單位的直線。有了數軸，任何一個有理數都可以用它上面的一個確定的點來表示。在數的研究上它起著重要的作用。
它使數和最簡單的圖形——直線上的點建立了對應關係，它揭示了數和形之間的內在關係，因此它是數形結合的基礎。但要注意數軸上的所有點並不是都有有理數和它對應。藉助於數軸上點的位置關係可以比較有理數的大小，法則是：
在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大。
2、相反數是指只有符號不同的兩個數。零的相反數是零。互為相反的兩個數位於數軸上原點的兩邊，離開原點的距離相等。有了相反數的概念後，有理數的減法運算就可以轉化為加法運算。
3、絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。顯然有：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零。對於任何有理數a，都有 ≥0。
4、倒數可以這樣理解:如果a與b是非零的有理數,並且有a×b=1，我們就說a與b互為倒數。有了倒數的概念後，有理數的除法運算就可以轉化為乘法運算。
5、有理數的大小比較：
（1）正數都大於零，負數都小於零，即負數＜零＜正數；（2）兩個正數，絕對值大的數較大；
（3）兩個負數，絕對值大的數反而小；（4）在數軸上表示的有理數，右邊的數總比左邊的大；
6、科學記數法：是指任何數記成a×10n的形式，其中用式子表示|a|的範圍是0＜|a|＜10。
7、近似數與有效數字：
近似數：一個與實際數很接近的數，稱為近似數；
有效數字：從左邊第一個不為0的數字起，到精確到的數位止，這些數字都是這個數的有效數字。
（1）有效數字越多，近似數就越精確；（2）由四捨五入得到的近似數0.003206，左邊第一個不是零的數是3，最後一位四捨五入所得到的數是6，從3到6中間的所有的數字是3、2、0、6，左邊的三個不算，但2和6之間的0要算，這個近似數有4個有效數字。
二、有理數的運演算法則
1、有理數的加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；異號兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數同0相加，仍得這個數。由此可得，互為相反數的兩數相加的0；三個數相加先把前兩個數相加，或先把後兩個數相加，和不變。
2、有理數的減法法則：減去一個數等於加上這個數的相反數。注意：一切加法和減法運算都可以統一成加法運算。
3、有理數的乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。任何數同零相乘都得零。
4、有理數的除法法則：兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數都得零。
5、有理數混合運算的順序：有理數混合運算中，先算乘方，再算乘除，最後算加減。運算中，如果有括號，就先算括號裡面的。、
6、有理數的運算律：
交換律：a＋b=b＋a , ab=ba.
結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) , (ab)c=a(bc).
乘法對加法的分配律：a(b＋c)=ab＋ac.
三、值得注意的幾個問題
1、數的範圍擴大到有理數後，一定要注意考慮負數。如不能認為「最小的整數是零」。
2、有理數都可以用數軸上的點表示；但數軸上的點不都表示有理數。
3、單獨的一個數或字母，省略的指數是「1」，而不是零。
4、對負數或分數進行乘方運算要注意加括號。如當 時， ；而不是 。
5、有理數的運算要特別注意符號。
第二章 整式的加減
一、 知識梳理
1、______和______統稱整式。
①單項式：由 與 的乘積式子稱為單項式。單獨一個數或一個字母也是單項式，如a ，5。
•單項式的係數：單式項裡的 叫做單項式的係數。
•單項式的次數：單項式中 叫做單項式的次數。
②多項式:幾個 的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的 ，不含字母的項叫做 。
•多項式的次數：多項式裡 的次數，叫做多項式的次數。
•多項式的命：一個多項式含有幾項，就叫幾項式。所以我們就根據多項式的項數和次數來命名一個多項式。如：3n4－2n2＋1是一個四次三項式。
2、同類項——必須同時具備的兩個條件（缺一不可）：
①所含的 相同；
②相同 也相同。
•合併同類項，就是把多項式中的同類項合併成一項。
方 法：把各項的 相加，而 不變。
3、去括號法則
法則1.括號前面是「+」號,把括號和它前面的「+」號去掉,
括號裡各項都 符號；
法則2.括號前面是「-」號,把括號和它前面的「-」號去掉,
括號裡各項都 符號。
▲去括號法則的依據實際是 。
〖注意1〗要注意括號前面的符號,它是去括號後括號內各項是否變號的依據.
〖注意2〗去括號時應將括號前的符號連同括號一起去掉.
〖注意3〗括號前面是「-」時,去掉括號後,括號內的各項均要改變符號,不能只改變括號內第一項或前幾項的符號,而忘記改變其餘的符號. 若括號前是數字因數時,可運用乘法分配律先將數與括號內的各項分別相乘再去括號,以免發生錯誤.
〖注意4〗遇到多層括號一般由裡到外,逐層去括號,也可由外到裡.數「-」的個數.
4、整式的加減
整式的加減的過程就是 。如遇到括號，則先 ，再 ，合併到 為止。
5、本單元需要注意的幾個問題
①整式（既單項式和多項式）中，分母一律不能含有字母。
②π不是字母，而是一個數字，
③多項式相加（減）時，必須用括號把多項式括起來，才能進行計算。
④去括號時，要特別注意括號前面的因數。
第三章 一元一次方程
一、 知識梳理
1．方程
（1）方程的定義：含有未知數的等式叫做方程.
（2）方程的解：能夠使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解.
（3）解方程：求方程解的過程叫做解方程.
2．一元一次方程：
只含有一個未知數，並且未知數的次數是1，這樣的方程叫做一元一次方程.
3．解一元一次方程的步驟：
①去分母，在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數，注意不要漏乘不含分母的項，分子為多項式的要加上括號；
②去括號，一般先去小括號，再去中括號，最後去大括號，注意不要漏乘括號裡的項，當括號前是「-」時，去掉括號時注意括號內的項都要變號；
③移項，將含有未知數的項移到方程的一邊，不含未知數的項移到方程的另一邊，注意移項要變號，移項和交換位置不同；
④合併同類項，將同類項合併成一項，把方程化為ax=b（a≠0） 的形式，注意只合並同類項的係數；
⑤係數化為1，在方程ax=b的兩邊都除以a，求出方程的解x= ，注意符號，不要把方程ax=b的解寫成x= 。
4．列方程解應用題的步驟：
（1）讀題找相等關係：認真讀題，理解題意，分清已知與未知，找出相等關係.
（2）設出適當的未知數：根據問題的實際情況，設未知數可以直接設未知數，也可以間接設未知數.
（3）列方程：根據問題中的一個相等關係列出方程.
（4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值.
（5）寫出所求解的答案：求到方程的解，要檢驗它是否符合實際意義，如果符合實際意義，要寫出完整的答案.
5．實際問題的常見型別
(1)利息問題:①相關公式:本金×利率×期數=利息(未扣稅);②相等關係:本息=本金+利息.
(2)利潤問題:①相關公式:利潤率=利潤÷進價;②相等關係:利潤=售價-進價.
(3)等積變形問題:①相關公式:長方體的體積=長×寬×高;圓柱的體積=底面積×高.
②相等關係:變形前的體積=變形後的體積.
(4)工程問題
①數量關係:工作量=工作時間×工作效率.②相等關係:總工作量=各部分工作量的和.
(5)行程問題:①相關數量關係:路程=時間×速度;②相等關係: (相遇問題)兩者路程和=總路程;(追及問題)兩者路程差=相距路程.
二、思想方法總結
1．方程的思想：方程的思想就是把末知數看成已知數，讓代替未知數的字母和已知數一樣參與運算，這是一種很重要的數學思想，很多問題都能歸結為方程來處理。
2、數形結合的思想：數形結合的思想是指在研究問題的過程中，由數思形，由形思數，把數和形結合起來分析問題的思想方法。本章在列方程解應用題時常採用畫圖，列**的方法展示數量關係。
使問題更形象、直觀。
3、「化歸思想」：所謂化歸思想，是指在如解數學問題時，如果對當前的問題感到困惑，可把它先進行交換，使之筒化，並得到解決的思維方法。如本章解方程的過程，就是把形式比較複雜的方程，逐步化簡為最簡方程ax=b(a=0)，從而求出方程的解，通過對解一元一次方程的學習要體會並掌據化歸這一數學思想方法。
三、易錯點突破
1、應用等式的基本性質時出現錯誤
例1 下列說法正確的是（ ）
a、在等式ab=ac中，兩邊都除以a，可得b=c
b、在等式a=b兩邊都除以c2+1可得
c、在等式 兩邊都除以a，可得b=c
d、在等式2x=2a一b兩邊都除以2，可得x=a一b
剖析：a中a代表任意數，當a≠0時結論成立；但當a=0時，不能運用等式的性質（2）結論不一定成立，如0•3=0•（－1）但3≠－1，所以，等式兩邊同時除以一個數，要保證除數不為0才能行。b中c2+1≠0所以成立c用的性質錯誤，應在等式兩邊都乘以a，d中一b這一項沒除以2，應為x=a－ 選b
2、去分母去括號時出現漏乘現象或出現符號錯誤；移項不變號，錯把解方程的過程寫成「連等」的形式。
例2 解方程 .
錯解： =3x-2+10=x+6=2x=－2=x=－1
剖析：錯解的原因是對方程的變形理解不深，受到代數式運算時使用連等式的習慣影響。
正解：去分母得3x-2+10=x+6
移項合併同類項得2x=－2,所以x=－1
3、列方程解應用題時常出現的錯誤
（1）審題不清，沒有弄請各個量所表示的意義；
（2）列方程出現錯誤
（3）應用公式錯誤
（3）單住不統一
（4）計算方法出現錯誤。
第四章 圖形認識初步
一、 知識梳理
二、重點、難點：
立體圖形與平面圖形的互相轉化，及一些重要的概念、性質等是本章的重點。
建立和發展空間觀念是空間與圖形學習的核心目標之一，能由實物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀，進行幾何體與其三檢視、圖之間的相互轉化是培養空間觀念的重要方面。另外，對圖形的表示方法，對幾何語言的認識與運用，都要有一個熟悉的過程。等等這些，對於今後的學習都很重要，同時也是本章的難點。
三、知識要點：
本章的主要內容是圖形的初步認識，從生活周圍熟悉的物體入手，對物體的形狀的認識從感性逐步上升到抽象的幾何圖形。通過從不同方向看立體圖形和立體圖形，初步認識立體圖形與平面圖形的聯絡。在此基礎上，認識一些簡單的平面圖形——直線、射線、線段和角。
1.多姿多彩的圖形：通過多姿多彩的圖形引入幾何圖形，使我們認識立體圖形、平面圖形，通過三檢視我們可以把立體圖形轉化為平面圖形來研究和處理，也可以把立體圖形為平面圖形；幾何體也簡稱為體，包圍體的是面，面面相交為線，線線相交為點；點動成線，線動成面，面動成體，幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素。
如廣場禮花在夜空中留下的圖形，你是否看到了點動成線？在電視中看到收割機在麥田中收割小麥，你是否看到了線動成面？
2.直線、射線、線段的區別與聯絡：從圖形上看，直線、射線可以看做是線段向兩邊或一邊無限延伸得到的，或者也可以看做射線、線段是直線的一部分；線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點；線段可以度量，直線、射線不能度量。
3.直線、線段性質：
經過兩點有一條直線，並且只有一條直線；或者說兩點確定一條直線；
兩點的所有連線中，線段最短；簡單說：兩點之間，線段最短。
4.線段中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點，如圖：
若點c是線段ab的中點，則有（1）ac=bc= ab 或（2）ab=2ac=2bc，反之，若有（1）式或（2）式成立，亦能說明點c是線段ab的中點。
5.關於線段的計算：兩條線段長度相等，這兩條線段稱為相等的線段，記作ab=cd，平面幾何中線段的計算結果仍為一條線段。即使不知線段具體的長度也可以作計算。
例：如圖：ab+bc=ac，或說：ac-ab=bc
6.角的意義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊，角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。
7.角的度量：1°=60′ 1′=60″ 1周角=360° 1平角=180° 1直角=90°
8.角的大小的比較：（1）疊合法，使兩個角的頂點及一邊重合，另一邊在重合邊的同旁進行比較；（2）度量法。
9.角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。
如圖：oc平分∠aob，則（1）∠aoc=∠boc= ∠aob或（2）2∠aoc =2∠boc =∠aob。
10.有關角的運算：
舉例說明：如圖，∠aoc+∠boc=∠aob，∠aob-∠aoc=∠boc
特殊情況，如果兩個角的和等於直角，就說這兩個角互為餘角，即其中一個是另一個的餘角；如果兩個角的和等於平角，就說這兩個角互為補角，即其中一個是另一個的補角；等角的餘角相等，等角的補角相等。
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